【摘 要】三重積分的計(jì)算是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，教師教學(xué)時(shí)可以從積分區(qū)域的表示方法上入手，再將積分區(qū)域的表示方法與積分計(jì)算方法進(jìn)行對(duì)應(yīng)，最終可以順利的將三重積分化為三次積分計(jì)算出來(lái)。
【關(guān)鍵詞】三重積分計(jì)算；教學(xué)方法
一、打好空間圖形的基礎(chǔ)
三重積分的積分區(qū)域Ω是三維空間中的物體，它是由一些曲面包裹而成的，所以弄清楚曲面的類(lèi)型和外形特征非常重要，這就需要教師在高等數(shù)學(xué)空間解析幾何這一章，尤其是空間曲面的相關(guān)知識(shí)：曲面的方程表達(dá)式、曲面的圖像等方面加大記憶訓(xùn)練和鞏固練習(xí)。經(jīng)常用到的一些曲面，比如平面Ax+By+Cz+D=0；球面x2+y2+z2+Ax+By+Cz+D=0；柱面f（x，y）=0、φ（y，z）=0、ψ（x，z）=0；圓錐面z2=k2（x2+y2）；橢球面 ；雙曲面 ；拋物面 等，教師要讓學(xué)生經(jīng)過(guò)練習(xí)后，能夠做到看到方程馬上可以說(shuō)出曲面的名字、畫(huà)出曲面的圖像。只有打好了空間圖形的基礎(chǔ)，建立了良好的空間想象力，這樣在三重積分上就邁開(kāi)了堅(jiān)實(shí)的一步。
二、用不同方式表示積分區(qū)域Ω
用集合表示空間區(qū)域的方法有很多，但是此處表示空間區(qū)域主要是針對(duì)的三重積分的計(jì)算，所以表示空間區(qū)域的方法就跟三重積分的計(jì)算方法做個(gè)對(duì)應(yīng)。傳統(tǒng)教學(xué)中三重積分的計(jì)算方法有：穿針?lè)ǎㄒ卜Q“先一后二”）、截面法（也稱“先二后一”）、球面坐標(biāo)換元法、柱面坐標(biāo)換元法，其中柱面坐標(biāo)換元法實(shí)質(zhì)上就是穿針?lè)ㄔ诒硎就队皡^(qū)域時(shí)用到了極坐標(biāo)形式，所以主要針對(duì)前三種形式來(lái)訓(xùn)練學(xué)生表示Ω。教師要引導(dǎo)學(xué)生按照這三種形式、從不同角度觀察，用盡可能多的方式來(lái)表示Ω。下面通過(guò)三個(gè)具體的空間區(qū)域來(lái)介紹一下表示方法。
經(jīng)過(guò)訓(xùn)練學(xué)生嘗試多種方法表示Ω后，學(xué)生自然就可以發(fā)現(xiàn)各種方法的適用類(lèi)型，教師這時(shí)可以啟發(fā)學(xué)生做一些經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)，比如，從單純區(qū)域表示的層面來(lái)講，穿針?lè)ê徒孛娣ㄓ玫淖顝V泛，球面坐標(biāo)適用的往往都有球面參與構(gòu)造Ω。
三、選擇合適的計(jì)算方法
一般的教材都對(duì)各種計(jì)算方法做了一定的適用性結(jié)論，比如，截面法較多適用于被積函數(shù)僅含有單一變量的情形；球面坐標(biāo)換元法常適用于被積函數(shù)或者Ω的邊界方程含有x2+y2+z2的情形；柱面坐標(biāo)換元法常用于被積函數(shù)是關(guān)于x2+y2的函數(shù)以及投影區(qū)域D的邊界與圓形有關(guān)的情形。所謂合適的計(jì)算方法，就是相對(duì)而言計(jì)算量不大、思路不復(fù)雜、容易想到、便于理解的方法。但是怎樣才能快速的找到合適的計(jì)算方法，這需要一個(gè)熟練的過(guò)程，所以教師要鼓勵(lì)學(xué)生嘗試多種方法，即使不是最優(yōu)的方法，只要能夠解出題目就達(dá)到了訓(xùn)練的目的，同時(shí)學(xué)生也可以在嘗試計(jì)算過(guò)程中總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，找到最好的方法。積分區(qū)域Ω的表示方式將會(huì)決定后續(xù)的計(jì)算形式。下面通過(guò)三個(gè)分別在上一部分的三個(gè)空間區(qū)域上進(jìn)行三重積分的題目來(lái)理解這句話。計(jì)算下列三重積分：
解題思路：（1）穿針?lè)ǎ?/p>
通過(guò)上面三個(gè)題目的解答，教師要讓學(xué)生意識(shí)到每種方法將三重積分化成三次積分在形式表達(dá)上是不難的，難度就體現(xiàn)在后續(xù)的計(jì)算上了，比如第一題用三種方法從形式表達(dá)到計(jì)算的難度相似，都不難；第二題形式表達(dá)和計(jì)算難度用穿針?lè)ū冉孛娣ǘ家闊┖芏啵坏谌}形式表達(dá)穿針?lè)ê颓蛎孀鴺?biāo)換元法比截面法簡(jiǎn)單，但是計(jì)算要屬球面坐標(biāo)換元法最簡(jiǎn)單。通過(guò)觀察，三題雖然都能用截面法求出，但是第二題是最適合截面法的，因?yàn)檎缫话憬滩纳辖榻B的，截面法最常用于被積函數(shù)是單一變量的積分，加上此題截面面積易求，所以此題首選截面法。
四、多練習(xí)、勤總結(jié)
教師按照前面三步做好教學(xué)，讓學(xué)生知道了怎樣表示積分區(qū)域，知道了怎樣計(jì)算三重積分，但是要達(dá)到學(xué)生自己能夠熟練的選用最合適的方法計(jì)算出三重積分的目的，還需要做大量的練習(xí)教師要針對(duì)每種類(lèi)型布置相應(yīng)的題目給學(xué)生做作業(yè)，要求學(xué)生完成作業(yè)的同時(shí)要不斷總結(jié)思考，這樣三重積分的計(jì)算就不是難題了。
參 考 文 獻(xiàn)
[1]華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2001
[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001