秦喜梅 張玉 陳佩樹 葛國菊
摘 要：算子半群作為泛函分析的一個分支，在微分方程、概率論、量子理論等方面有著廣泛的應(yīng)用。如何利用生成元的特性來研究算子半群與生成元之間的依賴關(guān)系、根據(jù)指數(shù)公式涉及的表達(dá)形式來研究算子半群的表示問題，這些都是算子半群理論討論的經(jīng)典話題。因此對每一個半群，它的生成定理、表示定理都是算子半群理論中研究的重要內(nèi)容。本文利用經(jīng)典的算子半群理論和雙參數(shù)C0半群中的方法，把強(qiáng)連續(xù)半群生成元的相關(guān)特性推廣至雙參數(shù)C半群，討論了雙參數(shù)C半群生成元的性質(zhì)及生成定理；
受強(qiáng)連續(xù)半群表示定理中指數(shù)公式的啟發(fā)，根據(jù)單參數(shù)C半群的表示定理和C預(yù)解式的性質(zhì)，證明了雙參數(shù)C半群的表示定理。
關(guān)鍵詞：雙參數(shù)C半群；
生成元；
指數(shù)有界
中圖分類號：O177.2? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? 文章編號：1673-260X（2023）05-0029-07
1 引言
為求解無窮維空間上的算子值函數(shù)方程
T（s+t）=T（s）T（t），s，t∈R+，T（0）=I
Hille于1936年開啟了對一些特殊算子半群的研究，使得Banach空間上的算子半群得以蓬勃發(fā)展。1948年K.Yosida和E.Hille提出的無窮小生成元的概念，建立了基本的表示定理，得到了算子半群很多重要的結(jié)論，其在發(fā)展方程、調(diào)和分析、散射理論、量子場論等領(lǐng)域中有著廣泛地應(yīng)用。而繼C0半群之后，Arent提出的積分半群[1]和Davis和Pang提出的C半群[2]是單參數(shù)算子半群理論逐漸發(fā)展起來的兩個主要分支，其理論已日臻完善[3-7]。近年來，雙參數(shù)以及n參數(shù)半群理論也得到了很多重要的結(jié)論，并有著廣泛地應(yīng)用[8-18]。而算子半群中的生成定理和指數(shù)公式、表示問題依然是多參數(shù)算子理論中的兩類熱門且有意義的數(shù)學(xué)問題。C半群是強(qiáng)連續(xù)半群的一個重要推廣。M.Janfada定義了雙參數(shù)C半群，并且討論了兩參數(shù)抽象柯西問題解的存在和唯一性[10]；
Mohamed Akkouchi等展示了Banach空間上雙參數(shù)半群的理論框架，并推廣了單參數(shù)算子半群的Hille-Yosida定理[11]；
薛雙、趙華新等在Banach空間上以單參數(shù)C0群為基礎(chǔ)，結(jié)合雙參數(shù)C半群的無窮小生產(chǎn)元與C群的性質(zhì)，提出雙參數(shù)C群的無窮小生成元概念，并討論了雙參數(shù)有界C群無窮小生成元的性質(zhì)，得出雙參數(shù)有界線性算子在（0，0）處的全微分與C-1的積即為雙參數(shù)有界C群的無窮小生成元[12]；
姚嵐、趙華新等不僅把單參數(shù)的C半群推廣到多參數(shù)的C半群，而且討論了多參數(shù)的C半群對生成元的連續(xù)依賴等一些關(guān)于多參數(shù)半群生成元的性質(zhì)[13]；
根據(jù)經(jīng)典算子半群理論中的方法，畢偉在多參數(shù)n階？琢次積分C半群概念的基礎(chǔ)上，引入了多參數(shù)n階？琢次積分C半群無窮小生成元的定義，并給出了多參數(shù)n階？琢次積分C半群的生成定理[14]；
蔡亮、宋曉秋等根據(jù)單參數(shù)C0半群的指數(shù)公式和Yosida逼近，證明了雙參數(shù)C0半群的表示問題中的指數(shù)公式[15]；
趙華新、趙拓等利用C半群的Yosida逼近，討論了雙參數(shù)C半群的Yosida逼近指數(shù)公式，其證明方法類似于C0半群表示定理中拆分積分區(qū)間的辦法[16，17]；
倉定幫等借助概率論這一工具，采用Riemann-Stieltjes積分、矩生成函數(shù)等方法，給出了雙參數(shù)算子半群的概率逼近指數(shù)公式[18]。本文把強(qiáng)連續(xù)半群生成元的相應(yīng)性質(zhì)推廣至雙參數(shù)C半群，得到雙參數(shù)C半群生成元的性質(zhì)及生成定理，并借助C半群的表示定理和C預(yù)解式的性質(zhì)，證明了雙參數(shù)C半群表示問題中的指數(shù)公式，此證明方法更具一般性。
設(shè)空間X是一個Banach空間，且C∈B（X）是單射算子，其中B（X）表示X上的有界線性算子全體所構(gòu)成的Banach空間。所有算子均為線性算子。R+表示非負(fù)實數(shù)集。
2 半群的基本概念和表示定理
3 雙參數(shù)C半群
3.1 雙參數(shù)C半群的定義
3.2 雙參數(shù)C半群生成元的性質(zhì)
3.2 雙參數(shù)C半群的生成定理
3.3 雙參數(shù)C半群的表示定理
4 結(jié)語
本文主要介紹了指數(shù)有界的雙參數(shù)C半群生成元的一些性質(zhì)和雙參數(shù)C半群的生成定理及表示定理，這些結(jié)果有利于以后關(guān)于雙參數(shù)C半群、雙參數(shù)C群等相關(guān)領(lǐng)域的擾動、逼近和齊次抽象柯西問題及非齊次抽象柯西問題的研究。
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