安徽省合肥市第四十六中學南校區 葉 菊 鳳 斌 (郵編：230601)
合肥師范學院數學與統計學院 趙玉華 (郵編：230601)
教育部制定的《義務教育數學課程標準》(2022年版)指出，制訂教學目標要“全面分析主題、單元和課時的特征”，先基于主題分析設計單元整體教學的目標，再圍繞其進一步細化課時教學目標.要注重將教學的內容結構化，從而幫助學生建立起能“體現數學學科本質”的、“對未來學習有支撐意義”的、“結構化”的數學知識體系.
要促進學生核心素養的發展，就繞不開推進單元整體教學，為了更好地推進單元整體教學，就應該站在主題的高度，從主題分析開始.也就是說單元整體教學的起點不應該局限于“單元”，而應該是“主題”這個更大的結構基石.
義務教育階段的數學課程的四個學習領域(數與代數、圖形與幾何、統計與概率、綜合與實踐)的內容是按照不同學段逐漸展開的，每個學習領域又分為若干小主題，循序漸進、由淺入深、螺旋上升地分散在一些章節進行教學實施，這樣做當然更符合不同階段學生的認知水平和學習能力，但這種安排方式必然會將主題教學人為地割裂開來，不利于整體把握教學內容之間的關聯，所以在單元整體教學設計前需要進行主題分析.
按照“主題—單元—課時”的順序，先明確“主題”的知識內容、核心素養的主要表現，再依據核心素養在不同學段的表現進行“單元”整體教學設計，最后將單元目標細化落實到每個“課時”的教學活動環節.站在“主題”的高度整體設計，再分步實施，可以最大程度地發揮核心素養導向對整個教學活動各環節的指導，可以促進學生對數學知識的整體把握，對數學的深刻理解，促使知識、核心素養同時進階.
以“數與代數”這個領域為例，在義務教育的第一學段(1-2年級)、第二學段(3-4年級)、第三學段(5-6年級)的主題都是2個，分別為數與運算與數量關系.義務教育的第四學段(7-9年級)，這個領域的主題有3個，分別為數與式、方程與不等式和函數.(如圖1所示)
圖1
下面以其中的“方程與不等式”這個主題為例，進行主題分析.
2.1 主題分析要“瞻前顧后”
主題分析，要回望小學、展望高中甚至大學，也就是要“瞻前顧后”、縱向分析，“瞻”先行組織者，“顧”后繼研究對象.學生小學什么時候接觸過方程與不等式？學習到什么程度？將來還會學習哪些方程與不等式相關的知識？在初中階段學習方程與不等式可以達成學生哪些核心素養的培養？將方程的來龍去脈厘清楚，才能形成結構化的系統.
在小學“方程與不等式”是在“數量關系”這個主題中呈現的，而到了初中“方程與不等式”是個獨立的主題.小學五年級(本文小學課本均以蘇教版為例)下冊，學生首次接觸“簡易方程”，學習了方程的概念，會借助天平理解等式的性質，會解簡易方程，會列方程解簡單的應用題.在方程概念的過程中，通過天平，還學習了不等式的表示.在高中研究函數和圓錐曲線性質的時候經常需要借助方程和不等式來解決，必修1第二章是一元二次函數、方程和不等式，學習了一元二次不等式、二元一次不等式(組)、基本不等式的相關內容，以及圓錐曲線與方程.
2.2 主題分析要“左顧右盼”
“左顧右盼”是指要關注橫向知識之間的融通，方法的類比和遷移.初中階段的方程和不等式的教學，應當把握方程和不等式的整體性，要讓學生經歷對現實問題中數與量的分析、借助未知數去表達數與量之間關系的過程，讓學生知道方程和不等式是建立實際問題中的等量關系或不等關系(含未知數)的一種數學表達方式.一元一次方程的研究方式可以遷移到二元一次方程(組)，二元一次方程組的解法可以遷移到三元一次方程組.不等式基本性質可以類比等式基本性質，一元一次不等式與不等式組的解法可以類比一元一次方程的解法.這也是為什么初中把方程與不等式作為一個主題的原因，主要是因為它們的數學本質和研究方式的一致性，所以在教學時這個主題應該把握相等關系和不等關系中的聯系與差異.方程模型和不等式模型都是常量學習中的基本模型，對初中階段“函數”等主題的學習也有很重要的工具作用.
下面以滬科版七年級上第三章《一次方程與方程組》的第一節《3.1一元一次方程及其解法》第一課時為例，談談基于主題分析的新授課教學.這節課是“方程與不等式”這個主題在初中的起始課.
站在“方程與不等式”這個主題上來思考一次方程這個小單元的教學，會發現“方程與不等式”揭示的是數學中最基本的數量關系(相等和不相等)，是在數學中和實際生活中廣泛應用的工具.方程和方程組相關的學習內容本身很重要，其蘊含的模型觀念、方程的研究方法更為重要.從實際問題中建立模型、解決模型、驗證解的正確性，形成模型觀念；
關注代數推理中的邏輯性，學會有理有據地表達，學會思考的有序性；
在較為復雜的過程中提高學生發現問題、提出問題和分析問題、解決問題的能力，都是這個主題中要切實落實的核心素養.
3.1 主題分析導圖
七年級我們已經學習了第一章有理數、第二章整式，學習了它們的哪些內容？
這些其實是初中數學“數與代數”領域的第一個主題“數與式”中的內容，當然，后面我們還會繼續學習其他的內容，第二個主題“方程與不等式”，第三個主題“函數”.
今天，我們開始學習方程.
意圖上課伊始，回顧前兩章的內容，歸入“數與代數”的“數與式”這個主題，體會同一主題中數與式研究方法的一致性，并引出新的主題“方程與不等式”.讓學生明晰所研究的內容所屬的領域和主題.
3.2 問題情境
問題1一位同學的年齡是12歲，老師的年齡減去24就是該同學的年齡，請問老師的年齡是多少？
問題2一位同學今年12歲，老師今年36歲，問再過幾年，老師的年齡是這位同學年齡的2倍？
問題3今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？(《孫子算經》)
過程依次解決以上3個問題.問題1，用算式和方程解決難易程度差不多，兩種方法會都有同學選擇.問題2，用方程明顯優于用算式，多數同學會選擇列方程解決.問題3，小學是假設都是雞或都是兔子，用算式解決，這種方法無論是理解上還是列式計算上，都是有一定難度的.現在再解決這個問題，學生會首選列方程.有可能設一個未知數，也有可能設兩個未知數，列出的方程可能是整式方程，也可能是分式方程.
預設此環節可列式：
意圖從問題1到問題2、問題3的解決過程，逐步讓學生感受方程在解決某些實際問題中比算式更優越，體會學習方程的必要性.問題2設一個未知數，可以列整式方程或分式方程.問題3，可以設一個未知數(方法不唯一)，列一元方程，也可以設兩個未知數，列二元方程.這一環節為尋找方程的共同點，從而歸納一元一次方程的概念提供了素材，同時此處預設出現的分式方程、二元方程，為“方程”這個主題的教學提供了素材.此環節讓學生從整體上對不同類型的方程有初步的感受.
3.3 新知建構
問題(把上個環節中的一元一次方程圈出來)圈出的這幾個方程有什么共同特點？
過程通過生生互動、師生互動，共同歸納出“一元一次方程”的概念.教師解讀“元”“次”的含義.
辨析判斷下列式子是否是一元一次方程，并說明理由.
過程師生共同依次辨析.(1)是一元一次方程；
(2)不是，有2個未知數，是以后要學習的二元一次方程；
(3)不是，是以后要學習的一元二次方程；
(4)不是，不是整式方程，是分式方程；
(5)不是，不是方程，是整式.
意圖通過學生找圈出方程的共同點，并用碎片化的文字描述，后師生共同逐步規范，最終得到一元一次方程的概念，讓學生經歷概念形成的過程，并在此過程中學會對方程分類的方法.歸納概念后進行辨析，加深對概念理解的過程中，借助一元一次方程命名的方式對其他的方程初步命名，對“方程”的類型有了更廣闊的了解.
數學史的介紹：
天元術，是利用未知數列方程的一般方法，與現代代數學中列方程的方法基本一致，但寫法不同.
1248年，金代數學家李治在其著作《測圓海鏡》中系統地介紹了天元術.而歐洲，十六世紀才開始做到這一點.
我國把解方程稱為“開方術”，除了天元術，還有四元術，即解四元高次方程，這一點，歐洲直到十八世紀才完成，比中國晚了四百多年.
意圖本環節展現了數學發展史中我國數學家的貢獻，展現了我國在人類文明發展中舉足輕重的作用，培養了愛國情操，增強了民族自豪感.同時，也向學生介紹了高次方程，拓展了視野，更加完善了“方程”的類型.
活動解一元一次方程2x-1=19.
過程學生用小學學過的方法，完全可以獨立完成此題.學生口述，教師將解方程的過程在黑板上板書.
2x=19+1
2x=20
x=10
檢驗把x=10代入方程，左邊=2×10-1=19，右邊=19，左邊=右邊，所以x=10是原方程的解.
追問每一步是怎樣得到的？理由是什么？
過程學生口述每一步做了怎樣的變形，教師補充板書，在2x=19+1上一行補充：方程兩邊同時加上1，在x=10上一行補充：方程兩邊同時除以2.學生口述每一步的理由，教師補充板書，在2x=19+1后面補充：(等式基本性質1)，在x=10后面補充(等式基本性質2).
追問小學學過的等式基本性質1、2的內容是什么？
過程師生共同回顧等式基本性質1、2的文字內容，讓學生發現初中等式的基本性質1與小學不一樣的地方，增加了“或整式”，說明原因，并說明這里的“數”也隨著我們學習的數的范圍的擴大而擴大.讓學生口述為什么等式基本性質2中“除數不能為0”.
追問你能用符號語言描述這兩個性質嗎？
追問等式還有其他性質嗎？
過程師生共同總結出等式基本性質1、2、3、4的文字描述及符號語言描述.
意圖這里對教材上的內容做了調整，先讓學生解方程，再思考每一步做了怎樣的變形，理由是什么？因為學生在小學就學過簡單方程的解法，完全有能力獨立完成這個方程的解答，而且小學時就學習過等式基本性質1和基本性質2的內容，基本性質3和4雖然小學時沒有總結，但是在解題過程中他們都遇到過，所以這里沒有必要在4個基本性質的得出過程耗費過多的時間.需要把更多的精力讓他們發現隨著所學知識的增加，性質的表述做了微調，讓學生感受到因為所學內容受限，我們所學知識都有可能隨著知識的增加而做略微的調整，體會我們目前所見只是整個數學大廈的一角而已.還要讓學生學會用符號語言描述性質，發展學生的符號意識.
3.4 鞏固應用
練習利用等式的基本性質解下列方程，并檢驗：
過程學生獨立解這兩個方程.教師巡視，并挑選典型的解答借助希沃視頻展臺展示.
意圖解第(1)題第一步是方程兩邊同時減去2x，這題的設計是為了讓學生深入理解等式基本性質1中新增的“整式”這種情況.第(2)題解法多樣，體現了等式基本性質的靈活應用，也為后面解有分母的一元一次方程打下基礎.
3.5 課堂小結
(1)本節課我們經歷了怎樣的學習歷程？
(2)本節課我們學習了哪些數學知識和方法？
(3)本節課的學習應用了哪些思維方式或體現哪些數學思想或核心素養？
(4)本章知識框圖.一元一次方程的研究流程是先學習相關概念，再到解法.經過本節課的學習，課堂開始列的這些方程，你會解哪些方程？下節課會繼續學習較為復雜的一元一次方程的解法.解方程的目的最終還是為了解決實際問題，所以本章3.2節會學習方程的應用.x+y=35，2x+4y=94，這種二元一次方程需要兩個在一起才能解出，這就是本章3.3節要學習的二元一次方程組，也是按照“概念—解法—應用”的流程研究的，后面是“三元一次方程組及其解法”，這些都是一次方程.3.6綜合與實踐一次方程組與CT技術，在科技領域經常用到求多元一次方程組(也叫線性方程組)的問題.方程的分類特別多，主要有初等代數方程和初等超載方程等等.
意圖引導學生回顧本節課的學習歷程，體會一般的研究流程：
總結從本節學習的知識點“一元一次方程的定義及相關概念”、“等式的基本性質”、“利用等式的基本性質解方程”；
提煉學生“抽象能力和運算能力”等核心素養.最后先是用本章知識框圖將本章的數學知識體系展現出來，再從中提煉研究方程的一般流程：
3.6 課后作業
3.6.1 基礎性作業
1.根據等式基本性質解下列方程，并檢驗：
(1)x+9=4，(2)6x=4x+4，(3)-2x=6，(4)0.5x+1=3.
意圖考查利用等式基本性質解方程的方法的掌握情況，在利用等式基本性質1時涵括了兩邊同時加(或減)同一個數或者整式兩種情況，在利用等式基本性質2時兩邊同時除以的這個數，有正數、負數，整數、小數等不同形式.
3.6.2 發展性作業
你能寫出一個沒有解的一元一次方程嗎？你能寫出一個有無數多個解的一元一次方程嗎？一元一次方程解的個數可能有哪些情況，為什么？請你以此為話題，寫一篇小論文.
意圖讓學生發現并深層次理解一元一次方程的形式與其解的情況之間的關系，以及分類討論思想.給學生獨立探究的時間和空間，將學生的學習從課堂引入課堂之外.進一步完善方程的結構化知識體系.
總之，站在“主題”的高度，可以更方便地了解知識的來龍去脈，更大范圍地了解知識的結構、關聯，及價值和意義，了解教材內容安排的良苦用心，加強對知識本質的理解，對知識間聯系的理解，更有利于幫助學生建立起有意義的、結構化的數學知識體系.通過主題分析，可以促使學生整體的、聯系的、發展的看待問題，形成理性思維，培養科學精神，發展核心素養.
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