天津師范大學教育學部 (300387) 柳 雙 吳立寶
函數是現代數學最基本的概念之一,是描述客觀世界中變量關系和規律的利器,更是數形結合思想的重要載體,在解決實際問題中發揮關鍵作用.《普通高中數學課程標準(2017年版2020年修訂)》(下文簡稱“課標”)在明確課程基本理念中強調突出數學主線,凸顯數學的內在邏輯和思想方法.[1]高中數學課程分為必修課程、選擇性必修課程和選修課程,課程內容突出函數、幾何與代數、概率與統計、數學建模與數學探究活動四條主線.函數主線主要分布在必修與選擇性必修課程中,包括必修課程的預備知識、函數的概念與性質、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數、函數的應用,選擇性必修課程的數列、一元函數導數及其應用.但選擇性必修課程函數主線內容與必修課程函數主線內容在教材編排上處于分割狀,數列、導數兩個單元在教學過程中易與函數主線脫節,教師不重視其中的連貫性,學生難以將數列、導數與必修課程所學函數內容聯系起來.基于此,本文深入挖掘函數主線,進一步聯結必修與選擇性必須課程內容,明晰選擇性必修課程內容與整個函數主線的聯系,同時以數列單元為例進行函數主線分析,充實選擇性必修課程函數部分的案例分析研究.
站在高中數學課程整體角度上來明晰函數主線結構,認識數學知識邏輯發展,挖掘其中滲透的數學思想方法,理解數學活動的設計編排意圖,發展數學學科核心素養,這是教師整體規劃函數教學不可或缺的一步.參照中學數學教學內容主線分析的結構,函數主線分為知識線、活動線、思想方法線、素養線.[2]知識線是教學的根源,活動線依附于知識線,將靜態的數學知識轉化為動態的數學活動,思想方法線與素養線是數學教學的內隱本質,跟隨知識與活動連續進階,最終發展學生數學學科核心素養.
從知識線分析函數,按照知識發生發展的過程,剖析函數內容的知識結構、邏輯關聯、本質內涵,從宏觀和微觀兩個角度入手,讓學生的認識在整體形成與局部聯系中逐步結構化并螺旋上升.宏觀上用十字模型,將函數產生的背景、函數概念與性質、函數模型橫向連接,將函數的應用、研究函數的工具(方法)與函數性質縱向連接.函數主線的主體部分由函數概念、函數表示和函數性質組成,因生活生產需要根據函數主體構建多種函數模型,在研究函數中需要借助其他主線知識作為工具,同時將函數主線應用到其他主線之中.微觀上通過梳理高中數學課程中有關函數的知識點、思想方法等,尋找知識點之間的關聯,總結其知識結構,最終確定宏觀結構中每個部分的微觀結構.函數概念從“刻畫變量之間依賴關系的數學語言和工具”(變量說)進一步抽象到“實數集合之間的對應關系”(對應關系說),在研究函數中需要借助代數運算作為基礎工具、導數作為分析函數性質的工具,函數可以看作數形結合的載體之一,解析幾何、平面向量幾何也可以看成研究函數的工具,如圖1.
圖1 函數主線知識結構圖
站在教師教的角度來看,活動線是知識線的活動載體;站在學生學的角度來看,知識線是活動線的內容根基.基于此,函數主線的活動線主要體現在教材編排結構和教學設計上.教材中函數內容的發展主線由“函數定義—函數性質(奇偶性、單調性、最值)—基本初等函數(指數函數、對數函數、冪函數)—函數的應用(解方程、建模)—三角函數—數列—一元函數的導數”展開,教師根據教材編排順序,分析靜態的知識線,優化教學設計,學生通過活動直接體驗在“做”中感悟習得數學知識.函數主線中蘊含著重要的思想方法,函數圖象與代數運算相結合的數形結合思想,證明數列簡單命題的數學歸納法,在導數概念形成中體會極限思想,以及函數應用的二分法和模型思想等.數學學科核心素養的發展建立在數學知識的不斷積累、數學活動的親身經歷、數學思想方法的感悟理解上,是數學教育的育人目標.在知識線和思想方法線的梳理中不難發現,函數主線的學習重點是提升數學抽象、數學建模、數學運算、直觀想象和邏輯推理素養.
梳理選擇性必修課程函數主線分析需要附著的要點,確定分析角度、找準找全聯結點、厘清單元微觀結構,以期突破函數主線分析現有的圍欄.
1.確定分析角度
對現行人民教育出版社A版(下文簡稱“人教A版”)與北京師范大學出版社(下文簡稱“北師大版”)選擇性必修教材內容進行比較分析,對比兩版教材的章前引入、數列概念、導數概念、數列性質等部分,明確不同版教材對于函數模型的學習以及應用的基本過程,把握核心重點,如表1,從中發現核心概念的獲得過程、知識內部的推理發展,其中蘊含的思想方法,進而凸顯的育人價值極為關鍵.延續函數主線“知識線、活動線、思想方法線與素養線”的四條準繩,可以歸納出選擇性必修課程函數主線分析要從“知識主線核心概念、知識內部推理發展、數學思想方法滲透、知識文化價值體現和應用模型”五角度展開.
表1 兩版教材內容對比分析表
2.找準找全聯結點
依據高中數學課程面向全體學生的理念,實現“人人都能獲得良好的數學教育,不同的人在數學上得到不同的發展.”[1]高中數學課程被劃分三類,函數、幾何與代數、概率與統計、數學建?；顒优c數學探究活動四條主線貫穿于三類課程,故三類課程不是相對孤立的呈現,而是相互聯系的存在.在選擇性必修課程開始前,學生已通過必修課程的學習,明晰了函數的概念和性質,總結了研究函數的基本方法,掌握了一些基本函數類,探索了函數的應用.因此,找準找全選擇性必修課程內容與函數主線主體的聯結點是有效分析選擇性必修課程函數主線的前提.在操作上分為三步,首先分析知識主線核心概念的基礎性,概念的邏輯生長點,找到選擇性必修課程函數知識在函數主體上的延伸處;其次分析數學思想方法的滲透,在學生已有的思想方法上繼續深入拓寬邊界,或者借用已有的函數思想“生長”出新的思想方法,比如學生已掌握初等函數模型,再加入特殊函數模型,實現函數模型思想方法的進階,在“對數增長”“知識爆炸”的基礎上體會極限思想.最后,分析知識育人價值的體現,能力和素養目標一般不能通過一節課的教學來實現,需要一個中長期的培養過程,[3]選擇性必修課程是必修課程的補充和延伸,能力和素養勢必會得到進一步的發展.
3.厘清單元微觀結構
在分析知識主線核心概念、數學思想方法滲透、知識育人價值體現,找尋必修課程與選擇性必修課程間聯結點的過程中,已經確定單元內容的宏觀結構.單元內容微觀結構是指教材中本單元知識的組織安排,知識塊的邏輯發展順序,思想方法上的縱觀引領,先拆分理解而后全局規劃.[4]聚焦選擇性必修課程中包含于函數主線的單元內容知識的微觀結構,對知識的上下位關聯及知識順序進行梳理,深挖其中蘊含的數學思想方法.具體操作方法是梳理本單元教材所含的知識點堆積形成知識塊,把握學生學習的重難點、關鍵點,列出學生學習重點知識所需的輔助性知識塊,分析各知識塊之間的關聯,各知識塊時如何發生發展的,總結其知識結構,形成知識塊的網絡結構圖.
數列作為一種離散函數是高中數學的重要研究對象之一,也是函數主線內容學習的一條支線,數列研究把研究對象從以往簡單的“數”的研究延伸到對復雜的“一列數”的研究,包括研究它們之間的關系、規律、特征等,是對先前所學連續函數模型的延伸,也是后續深入學習離散函數的基礎.
1.數列知識主線核心概念
數列單元涉及數列概念、特殊數列、數列應用和數學歸納法等.數列概念包括數列、項、首項、通項公式、遞推公式、數列前n項和等核心概念,是本單元學習的起點.隨后將一般數列特殊化得到等差數列和等比數列,圍繞這兩類特殊數列探索變化規律以及在實際問題中的應用.同時,數列概念、數列表示、數列性質、等差數列、等比數列等與函數主線主體關聯,在其中感受數列與函數的共性和差異,了解數學歸納法并簡單使用數學歸納法,如圖2.
圖2 數列單元知識結構圖
數列知識主線的學習具有發展性.其一,數列與其他內容主線聯系的發展性,數列屬于函數主線,與不等式、方程、概率、算法、極限等其他主線知識緊密相關,是將這些內容進行綜合應用的交互點.其二,在數學思想方法中的發展性,數列學習的過程中蘊藏多種數學思想方法,如函數與方程、特殊與一般、轉化與化歸等,這些思想方法既是函數思想的延伸,也為未來學習極限理論奠定基礎.其三,現實生活應用的發展性,數列在生活中的應用十分廣泛,如銀行存款、汽車折舊、城市空氣質量指數等實際問題,利用數列知識建立數學模型刻畫其遞推規律從而解決問題.
2.數列知識內部推理發展
通過日常生活和數學中的實例,掌握數列的概念和表示方法(列表、圖象、通項公式),理解數列是定義在正整數集或其有限子集上的特殊函數,等差數列、等比數列屬于數列的典型特例.借助情境引入等差數列,探索發現等差數列的通項公式,借高斯算法推廣到等差數列的前n項和,類比等差數列通過數學史問題和生活實例得到等比數列.
圖3 數列知識塊關系圖
分析數列知識塊之間的關系.就概念學習,在學習了集合、函數的概念、函數的表示方法和性質的基礎上學習數列的概念,明確數列與函數的內在聯系.就簡單性質,了解數列的幾種簡單表示方法,對比函數獲得數列的簡單性質,掌握求數列通項與數列求和的方式,意在讓學生了解研究數列的常見思路.就具體特例,等差數列與等比數列是兩類特殊的數列,具體到探討其通項、性質、前n項和等,通過對這兩類數列的學習,實現對數列的深入探討,強調數列和函數的內在聯系,著重類比思想與數學歸納思想的滲透.就應用部分,數列是重要模型,其思想滲透在教育儲蓄模型、分期付款模型等現實應用中,如圖3.
3.數列實際問題應用模型
數列在現實問題中被廣泛應用,同時也是古老的數學課題,在《周髀算經》里談到等差數列的概念,《易傳系辭》里有世界數學史上等比數列最早的文字記載.基于HPM視角,引導學生提出數學問題,利用數學史中的等差數列求和問題,思考等差數列求和的通項公式,進行數學化并建立數學模型解決問題.利用數學歸納法,學生將有限數項通過運算進行數學表達,最終歸納為數學公式,再與實際生活相聯系.將數學與實際生活以及數學思想文化結合起來,讓學生感受到數學概念的形成過程是歷史上真實發生的,使數列的學習擁有現實意義.
4.數列數學思想方法滲透
數列中蘊含著豐富的數學思想方法.其一函數思想,認識到數列是一種特殊的函數.其二方程思想,通常引導學生將等差數列或等比數列的5個參量看成是變量,面對“知三求二”的題目建立方程組,求出基本量.其三演繹思想,借助情境引出數列的相關概念,從一般數列概念和性質中探索出特殊的兩類數列的特征和應用意義.其四歸納思想,從高斯算法推廣到一般的等差數列前n項和公式.其五類比思想,在學習等差數列的基礎上類比得到等比數列的概念、性質和應用.其六數學歸納法,分析多米諾骨牌全部倒下的條件,通過猜想抽象出數學歸納法的步驟.其七分類討論思想,利用等差數列的性質,分奇、偶兩種情況解決求數列前n項和問題.其八數列求和用到的方法,累加(乘)法、錯位相減法、倒序相加法、裂項相消法等.
5.數列知識育人價值體現
從函數視角看數列,數列與函數、等差數列與一次函數、等比數列與指數函數間存在關聯,其中的核心概念和數學思想方法有內在統一性,學生能逐步體會到研究數學對象的基本框架和路徑,學習數學的思維方式,培養理性精神.在等差、等比數列的學習中,讓學生經歷探索數列中項的取值規律、發現數列的性質、應用數列的性質解決問題的過程,利于學生積累數學活動經驗,提高發現問題和提出問題、分析問題和解決問題的能力.數學歸納法是一種有力的證明數學命題的工具,通過其本身及蘊含的數學思想,有助于培養學生邏輯推理的素養.
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