王健翔，任瑞琪
（1.蘇州大學 能源學院，江蘇蘇州，215006；
2.蘇州市計量測試院，江蘇蘇州，215006）
在工程應用中，物體的導熱系數是非常重要的熱物性參數之一，其值隨物體的材質、溫濕度和雜質成分而變化[1]。導熱系數的準確測定是一項重要的研究課題，已有很多研究者對影響其準確測定的因素展開了研究[2～6]。在大學教學實驗中，一般采用“穩態平板法測導熱系數實驗”來講解導熱系數的測定原理、實施方法和影響因素。由于該方法存在測試時間長、精度相對較低、功耗高和被測物體內部溫度場無法描述等問題，導致實驗演示效果不理想。已有很多研究者對該實驗進行了改進和優化[7～10]，但效果都有限且對教學實驗而言操作過于繁瑣。為此，亟須一種反應迅速、實驗結果穩定、可實現多種工況的實驗設備。同時為響應國家節能減排的號召，設備應該低功耗、智能化，具備與虛擬現實相結合的數字接口[11]。
在上述背景下，基于傳熱學和電學問題的可遷移性[12～13]，提出了一種電學的模擬實驗教學裝置。擬通過電壓和溫度的遷移、電路和熱流的遷移類比，達到高速、高精度、低功耗且實驗結果穩定的目標。鑒于電學參數條件容易改變和測量，也可通過改變電學參數的方式，提供多種實驗工況的模擬和物體內部溫度場的描述。
■1.1 穩態平板法測導熱系數原理
對一厚度為δ，無內熱源，導熱系數為λ=A+Bt的無限大平板，一側以恒定的熱流密度q加熱。在穩態下，平板兩側的溫度分別為t1和t2。根據傅里葉定律[14]，板內溫度場可由導熱微分方程式(1)描述：
其中：
對(1)積分并應用(2)邊界條件，得：
在實驗中，給定一個恒定的熱流，并測出樣品的厚度和兩側溫度，即可求出樣品的平均導熱系數。實驗的精度取決于溫差、厚度和熱流的測定精度，其中以熱流的精準測量難度最高。
■1.2 傅里葉定律和歐姆定律數學表述相似性
給定一段材質均勻、橫截面積為s的等截面導體，其電阻率為ρ，長度為l。當其兩端電勢分別為E1和E2時，根據歐姆定律[15]，流過該導體的電流I可以表示為：
分別對式(4)和式(5)作如下改寫：
不難發現，兩者在數學表達形式上是完全一致的，都是將某一流量表示為一個物性參數和一個勢能差的乘積，因此兩者在物理場也滿足相同的分布規律。從式(6)中可以看出，在進行電學模擬時，熱學中的熱流q由電學中的電流I等效；
待測的導熱系數λm由電阻率的倒數1/ρ等效，且兩者都會隨著溫度變化而變化；
溫差Δt則是通過電勢差ΔE來進行等效。此外，熱學實驗中的板材厚度δ、電學實驗中的導體長度l和導體橫截面s在同一個實驗中都是定值。由此便建立了電學和熱學實驗之間的等效關系。
■1.3 模擬方法
穩態平板法測導熱系數實驗的常用測試方法原理如圖1的上半部分所示[16]。樣品為具有一定厚度的平板，兩側分別放置熱源和冷源來建立熱傳導條件。為確保導熱是一維的，即熱流僅沿著厚度方向傳遞，需要在樣品四周設置一圈相同材料的保溫區。在相同的冷熱源溫度下，樣品和保溫區界面即可近似建立絕熱邊界，認為樣品四周與外界的熱流為零。此外，為確保熱流計算的準確性，通常樣品對稱布置在熱源兩側。
圖1 熱學和電學模擬熱傳導示意圖
由于電阻網絡是不連續的，故借鑒數值傳熱學中有限元的概念，先對連續的樣品區域離散化，形成區域網格[17]，然后建立如圖1 所示的電阻網絡。樣品區位于整個網絡的中央，通過耦合電阻連接至兩側的保溫區電阻網絡。在樣品區電阻網絡的上下兩端施加主電壓差E1，由此建立樣品區閉合回路形成電流。保溫區電阻網絡通過耦合電阻連接至外部環境電阻網絡，在其上下兩端施加輔助電壓差E2，建立保溫區閉合回路形成電流。外部環境施加電勢E3，由阻值極大的電阻耦合至保溫區。所有電阻網絡負極連接至同一個電源負極，建立各個區域之間的電流閉合回路。
基于以上設計，設備可以模擬以下實驗條件：
（1）正常實驗工況
通過電壓調節裝置，令E1=E2=E3，此時在耦合電阻兩端的電勢相等，電流均沿著豎直方向的電阻從上至下。電流的路徑與一維導熱條件下熱流的路徑一致。
（2）保溫區溫度偏低形成熱流外泄條件
通過電壓調節裝置，令E1＞E2=E3，此時由于保溫區的各網絡節點的電勢均小于樣品區邊緣網絡節點的電勢，在耦合電阻中形成樣品區向保溫區方向的電流。在該工況下，可模擬由于保溫區溫度偏低，造成樣品區熱流外泄，從而影響測試結果的現象。
（3）保溫區溫度偏高形成額外熱流附加
通過電壓調節裝置，令E1＜E2=E3，此時由于保溫區的各網絡節點的電勢均大于樣品區邊緣網絡節點的電勢，在耦合電阻中形成保溫區向樣品區方向的電流。在該工況下，可模擬由于保溫區溫度偏高，造成樣品區熱流增大，從而影響測試結果的現象。
（4）環境溫度對整體實驗的影響
通過電壓調節裝置，調節E3使其在E1、E2附近波動。當E3＞E2=E1時，可模擬測試溫度低于環境溫度時，開展正常實驗的工況；
當E3＜E2=E1，可模擬測試溫度高于室溫時，開展正常實驗的工況。E1和E2之間的大小關系可參照第二和第三種工況說明。
（5）不同溫度下的測試實驗模擬
通過電壓調節裝置，調節E1、E2和E3的電壓大小，模擬在不同溫度水平下的測試實驗。由于在不同電壓下，電阻自身發熱量不同，選用具有一定溫度系數的電阻即可實現在不同電壓下的不同電阻率測試結果。
（6）樣品內部溫度場的模擬
依次測量電阻網絡各節點的電壓，將電壓相等的節點連接形成等壓線，即可等效為熱學實驗中的等溫線。等壓線的梯度反方向即為電流的方向。繪制多條電流方向，即可模擬樣品內部的熱流路徑。
■2.1 主要技術參數目標
設備的主要設計技術參數如表1 所示。
表1 設備設計技術參數
其中，電壓選用常規直流低壓12V，電流選用240mA以使電阻網絡功耗低于3W，額外2W 供其他儀表使用。
■2.2 詳細設計
根據設備技術參數，需要設計電壓調節方式和電阻網絡規模，然后對儀表進行選型，最后完成電路板原理圖和PCB 的繪制。
（1）電壓調節設計
電壓范圍為0～12V，輸入采用12V 直流電源。基于成本、使用方便和穩定性，同時要求電壓連續可調，選用AMS1085 低壓差線性穩壓器。該器件具備過流保護和過熱保護功能，且AMS1085 的線性調整率達到0.015%。其外圍電路簡單，僅需要6 個外圍器件即可工作。典型的電路構成如圖2 所示。
（2）電阻網絡規模
電阻網絡在最高電壓12V 時，其電流不超過240mA。計算得到整體電阻網絡的并聯阻值不低于50Ω。本方案中，樣品區電阻網絡選用7 列；
保溫區選用6 列，對稱分布于樣品區兩側；
環境采用一列耦合電阻直接接入。樣品區和保溫區的電阻均選用100Ω，內部耦合電阻選用100Ω，環境耦合電阻選用100kΩ。電阻網絡行數選用8 行。計算可得網絡在豎直方向等效電阻約為61.5Ω，滿足要求。需要注意的是，此處電阻網絡的設計并不唯一。設計完成后的整體電路如圖3 所示。
圖3 電阻網絡示意圖
（3）儀表選型
本設備中，主要使用的儀表為高精度電壓表和電流表計。結合前面章節中的參數，電壓精度為0.1V，電壓范圍0～12V。考慮儀表留有20%的裕度，選用電壓表的要求為精度0.1V，量程大于0～14V。電阻網絡總電流為240mA，由樣品區和保溫區共同組成，其中單個區域的電流約為120mA。在留有安全余量的前提下，電流表計的要求為精度0.1mA，量程0～140mA。
（4）電路板設計
電路板采用國產電路設計軟件“立創EDA”進行印刷電路板（PCB）的原理圖和PCB 的繪制。設計完成的電路板如圖4 所示。正面從左往右依次為電壓調節旋鈕、電源接口、3 個電壓表、電勢測點和3 個電流表，如圖4(a)所示。背面為電阻網絡區域和電壓調節模塊組成，如圖4(b)所示。
圖4 PCB 效果圖
■2.3 系統整體組裝
完成組裝后的設備主板如圖5 所示。
圖5 組裝完成后的設備主板
■3.1 實驗數據測量
受限于篇幅，此處選取1.2 節中的工況1、2、3 進行實驗并詳細闡述，實驗步驟如下：
（1）將所有電壓調節旋鈕逆時針旋轉到底，并打開電源，開始計時；
（2）依次調節樣品區熱端電壓約為9.0V、保溫區熱端電壓約為6.0V、環境熱端電壓約為6.0V。
（3）從電流表讀取樣品電流、保溫區電流和環境電流分別為：65.5mA、53.3mA 和0mA。
（4）使用萬用表，依次測量各測點的電壓，保留兩位小數，填入表2 中。
表2 電阻網絡電壓測點值1（V）
（5）依次調節樣品區熱端電壓約為9.0V、保溫區熱端電壓約為9.0V、環境熱端電壓約為9.0V，重復步驟(3)～(4)，三個電流表數據依次為：76.3mA、65.6mA 和0mA，電阻網絡各節點電壓數據填入表3。
表3 電阻網絡電壓測點值2（V）
（6）依次調節樣品區熱端電壓約為9.0V、保溫區熱端電壓約為11.5V、環境熱端電壓約為11.5V，重復步驟(3)～(4)，三個電流表數據依次為：83.9mA、74.5mA 和0mA，電阻網絡各節點電壓數據填入表4。
表4 電阻網絡電壓測點值3（V）
（7）實驗結束關閉電源，停止計時。
■3.2 實驗結果
在實驗中，令l=s=1 ，公式(5)可轉化為：
代入實驗數據計算等效導熱系數，并整理成表5。表5中，實驗2為在正確的實驗條件下，測得等效導熱系數值為8.38，將該數據作為參考；
當樣品區電勢差高于保溫區時（實驗1），熱流外泄，測得等效導熱系數為7.29，低于實際值；
當樣品區電勢差低于保溫區時（實驗3），保溫區熱流附加至樣品區，測得的等效導熱系數為9.29，高于實際值。由于環境電勢差與保溫區電勢差一致，因此在三個實驗中，外部環境電流都為0mA，即外部環境與測試系統沒有熱量交換。實驗結果與真實實驗情況相吻合。
表5 實驗結果表
分別繪制三種實驗條件下樣品內部的模擬溫度分布圖，并作等高線，如圖6 所示。熱流的方向為等高線的梯度反方向，如圖中虛線箭頭所指方向。
圖6 模擬溫度場
從圖6(b)中可看出，實驗2 的溫度沿板厚度方向均勻分布，熱流僅沿板厚度方向從高溫側指向低溫側，與無限大平板一維穩態導熱理論溫度分布趨勢吻合。當保溫區溫度低于樣品區溫度時，等溫線向下彎曲，如圖6(a)所示。此時熱流由樣品區向保溫區流失。相反，當保溫區溫度高于樣品區溫度時，等溫線向上彎曲，如圖6(c)所示。此時熱流從兩側保溫區流向中間樣品區。
■3.3 其他技術參數實驗結果
（1）設備功耗。在上述實驗中，通過功率表測得的實際功耗最大為4.4W，小于設計功耗。對比實驗設備：上海同廣科教某型號設備為200W；
上海綠蘭某型號設備為180W。
（2）設備體積。設備體積實測25cm×16cm×5cm。額外配備萬用表一塊，12V 便攜式電源一個。參照設備為80cm×40cm×140cm。
（3）實驗時長。設備設定電壓值后，工況即刻達到穩定狀態，無需等待熱平衡。平均單次溫度場數據測試耗時約5 分鐘。具體實驗時間視實驗設定組數而定。參照實驗設備平均實驗時長為2 小時。
基于歐姆定律與傅里葉定律的數學表述相似性和數值傳熱學有限元思想，設計并實現了一種電學等效的穩態平板導熱系數測試微型實驗教學演示裝置。實驗結果顯示，該裝置在可滿足開展原理驗證性實驗的同時，提供了更為豐富的參數調節功能，并具備描述樣品內部溫度場的功能。設備可靠穩定、功耗低、便攜、操作簡單且實驗時間短，在實驗教學中有很高的實用性和很高的性價比。
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