盛 龍
安徽省桐城中學(xué) (231400)
試題設(shè)計(jì)平凡、樸實(shí)、常規(guī)，是學(xué)生最熟悉的題型，入手比較容易且解題的思路很多.考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，檢驗(yàn)了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，是一道有探究性的好題.
若過原點(diǎn)的圓x2+y2=r2滿足：過圓上任意一點(diǎn)M的切線與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，且OA⊥OB.(當(dāng)切線斜率不存在時(shí)容易探究，下面只探究斜率存在的情形)
證法1：(設(shè)線)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).
證法2：(設(shè)切點(diǎn))設(shè)圓O在點(diǎn)M(x0,y0)(x0y0≠0)處的切線方程為x0x+y0y=r2，聯(lián)立
兩種方法最后一步都要利用到關(guān)系式x1x2+y1y2=0，顯然點(diǎn)A的坐標(biāo)與點(diǎn)B的坐標(biāo)是有一定的關(guān)系，能否打**題常規(guī)的定勢思維，在設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)上下功夫呢？結(jié)果是出人意料的.
通過巧妙設(shè)元，利用簡單的平面幾何知識構(gòu)造等式，跳出解析幾何題解答常規(guī)的思維框架，“四兩撥千斤”就干脆利落地得到圓的半徑，大大減少了計(jì)算量和中間步驟，在解題過程中展現(xiàn)思維的睿智和數(shù)學(xué)的魅力.
一個(gè)好的試題，往往具有深刻的背景，上述預(yù)賽試題實(shí)質(zhì)上是橢圓“內(nèi)準(zhǔn)圓”的一個(gè)基本性質(zhì).
圖1
對試題的命制作一點(diǎn)猜測性研究，以期與命題人對話，為此設(shè)計(jì)以下題目.
(1)求橢圓C的方程；
(1)求橢圓C的方程；
(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓交于M,N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓x2+y2=2的一條切線，交橢圓于另一點(diǎn)P，連接PN，證明：|PM|=|PN|.
(1)求橢圓C的方程；
(2)過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于M,N兩點(diǎn)，過點(diǎn)M作圓x2+y2=2的一條切線，交橢圓于另一點(diǎn)P，連接PN，求△PMN面積的最大值.
設(shè)計(jì)思路：題3的進(jìn)一步深化，S△PMN=2S△OPN，性質(zhì)3的特殊化.
基于以上對3到題目的設(shè)計(jì)，解析幾何試題考查學(xué)生用解析幾何方法解決解析幾何問題的能力，使學(xué)生體會到對于幾何問題，“解析化”的途徑必須進(jìn)行認(rèn)真的研究探索和選擇，同時(shí)強(qiáng)調(diào)運(yùn)算的準(zhǔn)確性對于解析幾何是十分必要的.
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