楊亞璪，張禮平
(重慶交通大學 交通運輸學院，重慶 400074)
收益管理系統中的顧客需求，會受到庫存限制無法得到滿足，造成需求預測的準確性下降和庫存優化策略的低效[1]。常采用無約束估計對歷史預訂數據進行修復，以縮小其與真實需求之間的差距。
無約束估計研究主要集中在航空業，分為基礎法、數理統計法和選擇模型法等[2-4]。Gallego等[5]提出一種廣義吸引力模型，利用改進EM算法(expectation maximization algorithm) 確定模型參數，在明確掌握產品市場份額時，估計結果更準確。郭鵬等[6]以短視型和策略型顧客偏好排名列表為基礎，利用不完備的歷史預售數據，以EM算法對顧客到達率和選擇模型概率質量函數進行聯合估計，有效避免了對“初始需求”的高估。在汽車租賃領域，Zhu[7]基于分解算法利用預售系統記錄的拒絕量預測潛在需求，該方法的重點在于識別、分解和移除不屬于潛在需求的部分，同時對于過度利用價格影響需求的情形不適用。Kourentzesa等[8]將小規模和間歇性需求預測的結果應用于無約束估計，證明了阻尼趨勢指數平滑和具有特殊成本函數的Croston方法可以減少對真實需求的估計誤差，但也強調了沒有考慮不同產品的需求可替代性。楊亞璪等[9]基于顧客租車行為調查，利用多項Logit模型處理數據求得顧客偏好概率，通過改進的Spill模型實現了無約束估計。
綜上，已有文獻大部分停留在短視型顧客行為和單一車型，而現實中顧客行為是有限理性的，汽車租賃商一般會提供多價格等級的產品，且各等級之間具有部分替代性。本文在顧客有限理性假設下，以前景理論為基礎，對需求轉移行為進行定量分析，推斷顧客租車的“初始需求”，并通過實例驗證模型的有效性。
顧客受到認知能力、市場不確定性因素的限制，在租車前無法完全了解各方案的服務屬性。其決策行為介于短視型和策略型之間，得到的方案只是滿意而非最優，最終決策結果是有限理性的。前景理論認為個體決策依賴于參考點的損益，且對等量損益的感知有所差異。個體一般會依據已知信息設定產品價格或質量的心理預期，并將實際產品和心理預期進行對比，然后作出決策，以期達到效用最大化[10]。
當某價格等級車型的預訂量達到限額時，形成“溢出”效應，租車系統會關閉，即發生定時截尾；
若顧客選擇其他車型，會產生需求轉移，形成“再現”效應。租車系統記錄的數據反映了顧客的選擇結果，即被滿足的“初始需求”和“再現需求”，無法反映“溢出需求”(圖1)[11]。“溢出”和“再現”效應導致了租車系統記錄的歷史發生數據有刪失，也加大了需求預測的難度。一方面，“溢出需求”被忽略，對未來的真實需求產生低估，并且隨著預售時長的增加，系統收益將產生“螺旋式下降”(spiral-down) ；
另一方面，由于重復記錄被替代車型的“再現需求”，導致對未來的真實需求產生高估。因此，需利用無約束估計方法，通過識別和分離溢出量和再現量來修復預訂數據，以消除溢出效應和再現效應的影響，獲得顧客真實的需求。
圖1 不同需求與預訂數據的關系Figure 1 Relationship between different requirements and reservation data
Swam[12-13]提出單艙位Spill模型，假設顧客需求服從某概率分布，以租車系統記錄的歷史發生數據標定模型參數，包括位置參數(均值) 和尺度參數(標準差)，通過數學期望計算需求超過訂購限制時的損失數量。單艙位Spill模型能夠“修復”需求總量，但忽略了艙位之間的轉移替代，可能引發需求高估。多艙位Spill模型更符合實際情況，因為該模型對升級和降級購買(buy-up &down) 行為都有考慮，提高了無約束估計的精度[14]。然而，多艙位Spill模型只考慮需求“溢出”效應，主要計算“溢出需求”，忽略了“再現”效應的影響。本文針對兩種效應和顧客有限理性行為，考慮顧客在替代車型下的選擇行為，將顧客的主觀決策行為融入到Spill模型，提出基于截尾數據的無約束估計方法。
2.1 模型假設
1) 各價格等級車型的需求隨機且相關，并服從正態分布。
2) 顧客的支付意愿根據價格由低到高，并服從正態分布。
3) 庫存數量固定，無取消預訂或預訂后不到場(no-show) 行為，不考慮超售和批量需求。
2.2 變量定義
i為待租車型的價格等級，i=1,2,···,m。
t為庫存控制的決策時間點，t=0,1,···,T，當t=0時，預售系統開放；
當t=T時，預售系統關閉。
Δt為t與t-1之間的預售提前期間隔。
Zit為車型i在Δt的可觀察訂購量。
BLit為車型i在Δt的訂購限制數量。
ci為車型i在Δt的平均價格。
cit為車型i在決策時間點t的預售價格。
Si為車型i未受約束的可觀察訂購量集合。
為車型i受約束的可觀察訂購量集合。
Iit為車型i在決策時間點的預售狀態，等于“1”表示預售開放，車型i的需求在 Δt內未受到約束，Zit∈Si；
等于“0”表示預售關閉，車型i的需求在 Δt內受到約束，Zit∈。
為車型i在Δt內的“再現需求”。
為車型i在Δt內的“溢出需求”。
Xi為車型i的“初始需求”，滿足參數為 μ和δ的正態分布，其概率密度函數為fi(x)。
Uit為“溢出”效應下車型i在Δt中的無約束估計量。
為通過無約束估計方法得到的車型i的“初始需求”。
CUit為車型i在Δt內的真實需求。
2.3 模型建立
2.3.1 租賃決策規則
用離散選擇模型描述顧客選擇行為，效用值越大的車型被選擇的概率越大。定義車型i的效用函數為Vi=vi+ζi。其中，vi是顧客選擇車型i的平均效用；
ζi是隨機效用誤差，服從Gumbel分布且相互獨立。則顧客選擇車型i的概率為
用前景理論中效用度量體系的價值函數度量車型效用，以wi表示顧客對車型i的支付意愿，以α(0＜α＜1) 和 β(0＜β＜1) 表示風險態度系數。由于面對收益時是風險規避，面對損失時是風險喜好，并且對損失比收益更敏感，引入損失規避系數λ(λ≥1)，則
支付意愿主要受兩方面的影響：個體歷史認知與客觀市場競爭，分別對應內部支付意愿與外部支付意愿。前者是歷史支付意愿和價格的加權平均[15]，后者可利用市場最低、最高和均價等3個特征值的均值表征[16]。本文將影響支付意愿的因素確定為顧客心理變化、外部競爭信息和價格變化趨勢等3個方面。假設顧客對車型i的 支付意愿wi服從正態分布N(τi,)，租賃價格與支付意愿正相關，支付意愿隨車型價格逐級遞推，則
其中，a(0＜a＜1)為記憶參數，衡量對低等級車型價格的依賴程度，通常a=0.6；
Δc=ci-ci-1表示車型的價格級差，用于反映價格變化趨勢；
ηi表示顧客對外部環境的感知判斷，該值越大說明支付意愿越強，升級租賃的可能性越大；
pmin、pmax和paverage分別表示外部環境價格的最低、最高和均值。
2.3.2 需求轉移概率
某價格等級車型的預售關閉時，顧客可能升級租賃或放棄租賃。理論上，升級租賃需求可能轉移到所有更高等級的車型，但由于價格敏感性的原因，低等級車型的需求常會升級到與之相鄰的上一等級。按效用最大化準則，升級租賃的條件是高等級車型對顧客的效用大于低等級車型，即Vi＞Vi-1，可根據支付意愿與租賃價格的關系分類討論。
情形1wi＞ci，wi-1＞ci-1。兩種車型的效用均為正，顧客從車型i-1轉移到車型i需滿足Vi＞Vi-1，即(wi-ci)α＞(wi-1-ci-1)α。由于α＞0，可簡化為wi-ci＞wi-1-ci-1。將式(3) 代入其中，可得此時，轉移概率為
其中，Φ是正態分布的分布函數。
情形2wi≤ci，wi-1≤ci-1。兩種車型的效用均為負，Vi＞Vi-1時，-λ(wi-ci)β＞-λ(wi-1-ci-1)β。由于β＞0，λ＞0，可簡化為wi-ci＜wi-1-ci-1。將式(3) 代入其中，可得。此時，轉移概率為
情形3wi＞ci,wi-1≤ci-1。高等級車型效用為正，低等級車型效用為負，顧客一定會選擇高等級車型。此時，轉移概率為
情形4wi≤ci,wi-1＞ci-1。高等級車型效用為負，低等級車型效用為正，顧客一定不會選擇高等級車型，轉移概率為0。
綜上，顧客需求從車型i-1轉移到i的概率為
2.3.3 模型改進
1) 需求“溢出”情形。
當Iit=1時，Zit∈Si，顧客租車需求在 Δt內未受約束；
當Iit=0時，Zit∈，顧客租車需求在 Δt內受到約束，需要計算“溢出”以得到Uit。
由于顧客的支付意愿是從低到高排列，故“溢出需求”可以從低等級開始計算。當i=1時，“溢出”為[17]
當i＞1時，相鄰價格等級車型之間的需求存在轉移，計算時，要考慮從車型i-1轉移的“溢出”。Iit=1時，“溢出”為0；
Iit=0時，
2) 需求“再現”情形
某汽車租賃公司門店可以提供5種價格等級的車型，由低到高依次為A～ E，提取該門店主要信息(包括連續一周的訂購車型、價格、取車還車門店、訂購時長等訂單數據) 進行分類整理，得到表1的基礎數據。
表1 各價格等級車型一周訂購數據Table 1 Weekly order data for each price class
以品牌汽車租賃商發布的同期價格為參考，確定外部市場環境價格，可得η2=4，η3=2，η4=-5，η5=-5。最低價格等級車型1的支付意愿w1為131元，標準差 ξ1取11.54。根據式(3)～(7) 可得到各車型之間的需求轉移概率，見表2。分別計算預售提前期間隔內，5個價格等級車型的“溢出需求”“再現需求”和“初始需求”，如表3所示。
表2 各價格等級車型的支付意愿Table 2 Willingness to pay for each price class
將本文提出的方法(簡稱“SS”) 與多艙位Spill模型(簡稱“SP”) 用于表1的“初始需求”數據，得到表3的無約束估計結果，說明了顧客有限理性行為和“溢出”效應對無約束估計存在影響。表3的計算結果表明，“SS”能夠識別“再現需求”，需求再現率為3.51%～13.08%，將5種價格等級車型的真實需求、可觀察訂購量、SP估計值和SS估計值分別進行對比(圖2(a)～(e))，可以發現“SP”的估計值高于歷史可觀察訂購量，“SS”的估計值更小。采用相對誤差對比歷史可觀察訂購量(未修復的訂購量) 和兩種方法估計結果，表明歷史可觀察訂購量的平均誤差最高，通過“SP”和“SS”的修復，各車型需求量的相對誤差明顯降低，且“SS”的相對誤差最小(圖2f) 。
圖2 無約束需求估計結果以及相對誤差Figure 2 Unconstrained demand estimation results and relative errors
表3 各價格等級車型需求的無約束估計Table 3 Results of unconstrained estimation for each price class
為說明無約束估計對公司收入的影響，假設該門店共有54臺車，采用EMSR[18]計算方法對無約束估計前后進行存量控制，計算結果如表4所示。基于歷史可觀察訂購量得到的車輛分配數分別是20、15、9、8、2，若所有車輛全部被預訂，預期收益為10 048元，而根據顧客“初始需求”得到的車輛分配數，收益為10 129元，與估計前相比，收益提高了0.81%。
表4 無約束估計前后的需求分布與車輛分配Table 4 Demand and stock control of each level before and after unconstrained estimation
在庫存供給不足的情況下，租車系統的預訂數據難以反映顧客的真實需求。本文在前景理論的效用度量體系下，基于顧客需求轉移提出支付意愿的計算方法，采用選擇概率確定轉移需求，實現多艙位Spill模型的改進，最終得到“初始需求”的無約束估計值，有效去除了需求的“溢出”和“再現”效應。數值案例以汽車租賃公司的一周連續訂單數據為基礎檢驗模型性能。結果表明，所提模型的平均相對誤差更小，估計結果更準確。分析“受約束數據”對公司收益的影響，利用EMSR對估計前后分別進行存量分配，估計前的預期收益減少了0.81%。然而，顧客支付意愿的形成，除價格以外還包括產品屬性、品牌聲譽、促銷優惠、時間等，后續研究可以在這些方面進行更多的定量分析。
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