呂洪斌，劉桂敏
(1.北華大學數學與統計學院，吉林 吉林 132013；
2.蘭州大學數學與統計學院，甘肅 蘭州 730000)
為敘述方便，我們約定Mn()、Mn()分別表示實數域、復數域上的n×n階矩陣集合；
分別表示n維歐氏空間上的非負向量和正向量的集合；
N={1，2，…，n}；
σ(A)={λ∈：Ax=λx，0≠x∈n}表示矩陣A∈Mn()的譜集；
λi(A)表示矩陣A的譜半徑；
Γ(A)表示矩陣A的有向圖[1]；
C(A)表示Γ(A)的簡單回路[1]集合；
表示n階正對角陣的集合.
定義1[1-2]設A=(aij)∈Mn()，如果存在n階置換矩陣P，使得其中A11為r×r階矩陣(1≤r 定義2若A=(aij)∈Mn()，且aij≥0，i、j∈N，則稱A為非負矩陣，記為A∈Mn(+). 關于非負矩陣的譜性質有經典的Perron-Frobenius定理. 定理1[1]設A=(aij)∈Mn(+)不可約，r(A)為A的譜半徑，則 (ⅰ)r(A)為A的代數重數為1的單重特征值. 由定理1知，譜半徑r(A)是非負矩陣A的按模最大特征值，也稱為非負矩陣的最大特征值. 對于非負矩陣譜半徑上下界的估計，有著名的Perron-Frobenius定理. 定理2[1]設A=(aij)∈Mn(+)，r(A)是A的譜半徑，則 非負矩陣在很多領域都有重要應用[2-4]，而非負矩陣譜半徑的估計與計算是非負矩陣理論中的經典內容.關于不可約非負矩陣譜半徑的計算有冪法[5]、基于Collatz-Wielandt函數的算法[6-7]、對角相似迭代算法[8-11]等.本文應用矩陣的對角相似變換，基于冪函數給出不可約非負矩陣最大特征值的擬冪型數值算法，與冪法相比，本文提出的算法在每步運算量基本不變的前提下，減少了迭代次數和計算時間，并且算法適用于所有不可約非負矩陣譜半徑的計算. 設A=(aij)∈Mn(+)不可約，0<α<1，記A不妨設否則，由定理2知則由定理2可知對取從而A(1)為不可約非負矩陣，且σ(A(1))=σ(A(0)).記則取從而A(2)為不可約非負矩陣，且有σ(A(2))=σ(A(1)).如此繼續下去，由A(k+1)得到相似的不可約非負矩陣序列最小行和序列與最大行和序列同時，變換前后的矩陣具有相同的零元模式. 由上述構造過程，我們給出如下計算非負矩陣譜半徑的數值算法. 算法1 給定不可約非負矩陣A=(aij)∈Mn(+)，ε>0，0<α<1. 步1 計算 對于上述迭代矩陣，容易證明： 引理1設A=(aij)∈Mn(+)不可約，對?γ∈C(A)，記γ：i1→i2→…→ir→ir+1=i1，?k∈+，則有 引理2設A=(aij)∈Mn(+)不可約，r(A)是A的譜半徑，不妨設則對前述迭代矩陣序列最小行和序列單調遞增有上界，最大行和序列單調遞減有下界，且 引理3設A=(aij)∈Mn(+)不可約，如果aij>0，i、j∈N，則+，其中，a 所以有 由于A不可約，對aij≠0，?i、j∈N，i≠j存在Γ(A)的一條有向路徑[1]γ：i→j→j1→…→jr→jr+1=i，使得 于是有 定理3設A=(aij)∈Mn(+)不可約，r(A)是A的譜半徑，則在前述矩陣序列和記號下，有 類似上式進一步有 ? 因此，?i∈N，有 進一步，?q∈+，應用引理2有 下面應用Matlab R2016b通過具體數值算例分析上述算法.所有數值實驗均在4 GB內存Intel CPU 15-4210的PC上完成.我們隨機給出一個5×5階矩陣. 例1 表1 不同算法計算r(A)迭代次數和計算時間比較Tab.1 Comparison of iterations times and computation time for computing r(A) with different algorithms 由例1知，本文算法與冪法相比，迭代次數和迭代時間明顯減少，因而計算效率大大提高.
