方法是一個漢語詞匯，方法的含義較廣泛，一般是指為獲得某種東西或達到某種目的而采取的手段與行為方式。方法在哲學，科學及生活中有著不同的解釋與定義， 以下是為大家整理的關于兩動一定最小值問題的方法3篇 , 供大家參考選擇。
兩動一定最小值問題的方法3篇
【篇1】兩動一定最小值問題的方法
Matlab求函數最小值
§1 線性規劃模型一、線性規劃課題： 實例 1：生產計劃問題 假設某廠計劃生產甲、乙兩種產品，現庫存主要材料有 A 類 3600 公斤，B 類 2000 公斤，C 類 3000公斤。每件甲產品需用材料 A 類 9 公斤，B 類 4 公斤，C 類 3 公斤。每件乙產品，需用材料 A 類 4 公斤，B 類 5 公斤，C 類 10 公斤。甲單位產品的利潤 70 元，乙單位產品的利潤 120 元。問如何安排生產，才能使該廠所獲的利潤最大。 建立數學模型： 設 x1、x2 分別為生產甲、乙產品的件數。f 為該廠所獲總潤。 max f70x1120x2 s.t 9x14x2≤3600 4x15x2≤2000 3x110x2≤3000 x1x2≥0 實例 2：投資問題 某公司有一批資金用于 4 個工程項目的投資，其投資各項目時所得的凈收益投入資金锪百分比如下表： 工程項目收益表 工程項目 A B C D 收益 15 10 8 12 由于某種原因，決定用于項目 A 的投資不大于其他各項投資之和而用于項目 B 和 C 的投資要大于項目 D 的投資。試確定全文該公司收益最大的投資分配方案。 建立數學模型： 設 x1、 x2 、x3 、x4 分別代表用于項目 A、B、C、D 的投資百分數。 max f0.15x10.1x20.08 x30.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 x2 x3- x4≥0 x1x2x3 x41 xj≥0 j1234 實例 3：運輸問題 有 A、B、C 三個食品加工廠，負責供給甲、乙、丙、丁四個市場。三個廠每天生產食品箱數上限如下表： 工廠 A B C 生產數 60 40 50 四個市場每天的需求量如下表： 市場 甲 乙 丙 丁 需求量 20 35 33 34 從各廠運到各市場的運輸費元/每箱由下表給出： 市 場 甲 乙 丙 丁 工 A 2 1 3 2 廠 B 1 3 2 1 C 3 4 1 1 求在基本滿足供需平衡的約束條件下使總運輸費用最小。 建立數學模型： 設 ai j 為由工廠 i 運到市場 j 的費用，xi j 是由工廠 i 運到市場 j 的箱數。bi 是工廠 i 的產量，dj 是市場 j 的需求量。 b 60 40 50 d 20 35 33 34 s.t x i j≥0 當我們用 MATLAB 軟件作優化問題時，所有求 maxf 的問題化為求 min-f 來作。約束 g i x≥0，化為 –g i≤0 來作。 上述實例去掉實際背景，歸結出規劃問題：目標函數和約束條件都是變量 x 的線性函數。形如： 1 min f T X s.t A X≤b Aeq X beq lb≤X≤ub 其中 X 為 n 維未知向量，f Tf1f2…fn為目標函數系數向量，小于等于約束系數矩陣 A 為 m×n 矩陣，b 為其右端 m 維列向量，Aeq 為等式約束系數矩陣，beq 為等式約束右端常數列向量。lbub 為自變量取值上界與下界約束的 n 維常數向量。二．線性規劃問題求最優解函數： 調用格式： xlinprogfAb xlinprogfAbAeqbeq xlinprogfAbAeqbeqlbub xlinprogfAbAeqbeqlbubx0 xlinprogfAbAeqbeqlbubx0options xfvallinprog… x fval exitflaglinprog… x fval exitflag outputlinprog… x fval exitflag output lambdalinprog… 說明：xlinprogfAb返回值 x 為最優解向量。 xlinprogfAbAeqbeq 作有等式約束的問題。若沒有不等式約束，則令 A 、b 。 xlinprogfAbAeqbeqlbubx0options 中 lb ub 為變量 x 的下界和上界，x0 為初值點，options 為 指定優化參數進行最小化。Options 的參數描述： Display 顯示水平。 選擇’off’ 不顯示輸出；選擇’iter’顯示每一 步迭代過程的輸出；選擇’final’ 顯示最 終結果。 MaxFunEvals 函數評價的最大允許次數 Maxiter 最大允許迭代次數 TolX x 處的終止容限 xfvallinprog… 左端 fval 返回解 x 處的目標函數值。 xfvalexitflagoutputlambdalinprogfAb Aeqbeqlbubx0 的輸出部分： exitflag 描述函數計算的退出條件：若為正值，表示目標函數收斂于解 x 處；若為負值，表示目標 函數不收斂；若為零值，表示已經達到函數評價或迭代的最大次數。 output 返回優化信息：output.iterations 表示迭代次數；output.algorithm 表示所采用的算法； outprt.funcCount 表示函數評價次數。 lambda 返回 x 處的拉格朗日乘子。它有以下屬性： lambda.lower-lambda 的下界； lambda.upper-lambda 的上界； lambda.ineqlin-lambda 的線性不等式； lambda.eqlin-lambda 的線性等式。 三． 舉例 例 1：求解線性規劃問題： max f2x15x2 s.t 先將目標函數轉化成最小值問題：min-f- 2x1-5x2 程序： f-2 -5 A1 00 11 2 b438 xfvallinprogfAb ffval-1 結果： x 23 fval -19.0000 maxf 19例 2：minf5x1-x22x33x4-8x5 s.t –2x1x2-x3x4-3x5≤6 2x1x2-x34x4x5≤7 0≤xj≤15 j12345程序： f5 -1 2 3 -8 A-2 1 -1 1 -32 1 -1 4 1 b67 lb0 0 0 0 0 ub15 15 15 15 15 xfvallinprogfAblbub結果：x 0.0000 0.0000 8.0000 0.0000 15.0000 minf -104例 3：求解線性規劃問題： minf5x1x22x33x4x5 s.t –2x1x2-x3x4-3x5≤1 2x13x2-x32x4x5≤-2 0≤xj≤1 j12345程序： f5 1 2 3 1 A-2 1 -1 1 -32 3 -1 2 1 b1-2 lb0 0 0 0 0 ub1 1 1 1 1 xfvalexitflagoutputlambdalinprogfAblbub 運行結果：Exiting: One or more of the residuals duality gap or total relative error has grown 100000 times greater than its minimum value so far: the primal appears to be infeasible and the dual unbounded. The dual residual lt TolFun1.00e-008. x 0.0000 0.0000 1.1987 0.0000 0.0000 fval 2.3975 exitflag -1 output iterations: 7 cgiterations: 0algorithm: lipsol lambda ineqlin: 2x1 double eqlin: 0x1 double upper: 5x1 double lower: 5x1 double顯示的信息表明該問題無可行解。所給出的是對約束破壞最小的解。例 4：求解實例 1 的生產計劃問題建立數學模型：設 x1、x2 分別為生產甲、乙產品的件數。f 為該廠所獲總潤。 max f70x1120x2 s.t 9x14x2≤3600 4x15x2≤2000 3x110x2≤3000 x1x2≥0將其轉換為標準形式： min f-70x1-120x2 s.t 9x14x2≤3600 4x15x2≤2000 3x110x2≤3000 x1x2≥0 程序： f-70 -120 A9 4 4 53 10 b360020003000 lb0 0 ub xfvalexitflaglinprogfAblbub maxf-fval 結果： x 200.0000 240.0000 fval -4.2800e004 exitflag 1 maxf 4.2800e004 例 5：求解實例 2 建立數學模型： max f0.15x10.1x20.08 x30.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 x2 x3- x4≥0 x1x2x3 x41 xj≥0 j1234 將其轉換為標準形式： min z-0.15x1-0.1x2-0.08 x3-0.12 x4 s.t x1-x2- x3- x4≤0 -x2- x3 x4≤0 x1x2x3 x41 xj≥0 j1234 程序： f -0.15-0.1-0.08-0.12 A 1 -1 -1 -1 0 -1 -1 1 b 0 0 Aeq1 1 1 1 beq1 lb zeros41 xfvalexitflag linprogfAbAeqbeqlb f-fval 結果：x 0.5000 0.2500 0.0000 0.2500 fval -0.1300 exitflag 1 f 0.1300 即 4 個項目的投資百分數分別為 50，25，0 25時可使該公司獲得最大的收益，其最大收益可到達 13。過程正常收斂。 例 6：求解實例 3 建立數學模型： 設 ai j 為由工廠 i 運到市場 j 的費用，xi j 是由工廠 i 運到市場 j 的箱數。bi 是工廠 i 的產量，dj 是市場 j 的需求量。 b 60 40 50 T d 20 35 33 34 T s.t x i j≥0 程序： A2 1 3 21 3 2 13 4 1 1 fA: B 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 010********* 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 D1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 000111000000 000000111000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 b604050 d2******* lbzeros121 xfvalexitflaglinprogfBbDdlb 結果： x 0.0000 20.0000 0.0000 35.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 33.0000 0.0000 18.4682 15.5318 fval 122.0000 exitflag 1 即運輸方案為：甲市場的貨由 B 廠送 20 箱；乙市場的貨由 A 廠送 35 箱；丙商場的貨由 C 廠送 33箱；丁市場的貨由 B 廠送 18 箱，再由 C 廠送 16 箱。最低總運費為：122 元。§2 非線性規劃模型一．非線性規劃課題 實例 1 表面積為 36 平方米的最大長方體體積。 建立數學模型： 設 x、y、z 分別為長方體的三個棱長，f 為長方體體積。 max f x y 36-2 x y/2 xy 實例 2 投資決策問題 某公司準備用 5000 萬元用于 A、B 兩個項目的投資，設 x1、x2 分別表示配給項目 A、B 的投資。預計項目 A、B 的年收益分別為 20和 16。同時，投資后總的風險損失將隨著總投資和單位投資的增加而增加，已知總的風險損失為 2x12x22x1x22.問應如何分配資金，才能使期望的收益最大，同時使風險損失為最小。 建立數學模型： max f20x116x2-λ2x12x22x1x22 s.t x1x2≤5000 x 1≥0x2≥0 目標函數中的λ≥0 是權重系數。 由以上實例去掉實際背景，其目標函數與約束條件至少有一處是非線性的，稱其為非線性問題。 非線性規劃問題可分為無約束問題和有約束問題。實例 1 為無約束問題，實例 2 為有約束問題。二．無約束非線性規劃問題： 求解無約束最優化問題的方法主要有兩類：直接搜索法Search method和梯度法Gradient method. 1．fminunc 函數 調用格式： xfminuncfunx0 xfminuncfunx0options xfminuncfunx0optionsP1P2 xfvalfminunc… xfval exitflagfminunc… xfval exitflagoutputfminunc… xfval exitflagoutputgradfminunc… xfval exitflagoutputgradhessianfminunc… 說明：fun 為需最小化的目標函數，x0 為給定的搜索的初始點。options 指定優化參數。 返回的 x 為最優解向量；fval 為 x 處的目標函數值；exitflag 描述函數的輸出條件；output 返回優化信息；grad 返回目標函數在 x 處的梯度。Hessian 返回在 x 處目標函數的 Hessian 矩陣信息。 例1：求 程序：編輯 ff1.m 文件 function fff1x f8x1-4x2 x123x22 通過繪圖確定一個初始點： xymeshgrid-10:.5:10 z 8x-4y x.23y.2 surfxyz 選初始點：x000 x000 xfvalexitflagfminuncff1x0結果：x -4.0000 0.6667 fval -17.3333 exitflag 1例 2：程序：編輯 ff2.m 文件： function fff2x f4x125x1x22x22 取初始點：x011 x011 xfvalexitflagfminuncff2x0結果： x 1.0e-007 -0.1721 0.1896 fval 2.7239e-016 exitflag 1例 3：將上例用提供的梯度 g 最小化函數進行優化計算。修改 M 文件為： function fgff3x f4x125x1x22x22 if nargut gt1 g18x15x2 g25x14x2 end 通過下面將優化選項結構 options.GradObj 設置為’on’來得到梯度值。 optionsoptimset‘Gradobj’’on’ x011 xfvalexitflagfminuncff3x0options結果： x 1.0e-015 -0.2220 -0.2220 fval 5.4234e-031 exitflag 1 2． minsearch 函數 調用格式： xfminsearchfunx0 xfminsearchfunx0options xfminsearchfunx0optionsP1P2 xfvalfminsearch… xfval exitflagfminsearch… xfval exitflagoutputfminsearch… xfval exitflagoutputgradfminsearch… xfval exitflagoutputgradhessianfminsearch…說明： 參數及返回變量同上一函數。 對求解二次以上的問題，fminsearch 函數比 fminunc 函數有效。 3． 多元非線性最小二乘問題： 非線線性最小二乘問題的數學模型為： 其中 L 為常數。 調用格式： xlsqnonlinfunx0 xlsqnonlinfunx0lbub xlsqnonlinfunx0options xlsqnonlinfunx0optionsP1P2 xresnormlsqnonlin… xresnorm residualexitflaglsqnonlin… xresnorm residual exitflagoutputlsqnonlin… xresnorm residualexitflag outputlambdalsqnonlin… xresnorm r esidualexitflag outputlambdajacobianlsqnonlin… 說明：x 返回解向量；resnorm 返回 x 處殘差的平方范數值：sumfunx.2；residual 返回 x 處的殘差值 funx；lambda 返回包含 x 處拉格朗日乘子的結構參數；jacobian 返回解 x 處的 fun 函數的雅可比矩陣。 lsqnonlin 默認時選擇大型優化算法。 Lsqnonlin 通過將 options.LargeScale 設置為’off’來作中型優化算法。其采用一維搜索法。 例 4．求 minf4x2-x12x2-42 ，選擇初始點 x011 程序： f 4x2-x12x2-42 xreshormlsqnonlinf11 結果： x 3.9896 3.9912 reshorm 5.0037e-009 例 5：求 ，選擇初始點 x00.20.3 求解：先編輯 ff5.m 文件： function fff5x k1:10 f22k-expkx1-expkx2 然后作程序：x00.20.3 xresnormlsqnonlinff5x0 結果 ： x 0.2578 0.2578 resnorm 124.3622二． 有約束非線性規劃問題： 數學模型： min Fx s.t Gi x ≤0 i1…m Gj x 0 jm1…n xl≤x≤xu 其中：Fx為多元實值函數，Gx為向量值函數， 在有約束非線性規劃問題中， 通常要將該問題轉換為更簡單的子問題，這些子問題可以求并作為迭代過程的基礎。其基于 K-T 方程解的方法。它的 K-T 方程可表達為： 方程第一行描述了目標函數和約束條件在解處梯度的取消。由于梯度取消，需要用拉格朗日乘子λi 來平衡目標函數與約束梯度間大小的差異。 調用格式: xfminconfx0Ab xfminconfx0AbAeqbeq xfminconfx0AbAeqbeqlbub xfminconfx0AbAeqbeqlbubnonlcon xfminconfx0AbAeqbeqlbubnonlconoptions xfvalfmincon… x fval exitflagfmincon… x fval exitflag outputfmincon… x fval exitflag output lambdafmincon… 說明：xfminconfx0Ab返回值 x 為最優解向量。其中：x0 為初始點。Ab 為不等式約束的系數矩陣和右端列向量。 xfminconfx0AbAeqbeq 作有等式約束的問題。若沒有不等式約束，則令 A 、b 。 xfminconf x0AbAeqbeqlbub nonlcon options 中 lb ub 為變量 x 的下界和上界； nonlconfun由 M 文件 fun.m 給定非線性不等式約束 c x ≤0 和等式約束 gx0； options 為指定優化參數進行最小化。 例 6：求解：min 100x2-x12 21-x12 s.t x1≤2 x2≤2 程序：首先建立 ff6.m 文件： function fff6x f100x2-x2221-x12然后在工作空間鍵入程序： x01.11.1 A1 00 1 b22 xfvalfminconff6x0Ab 結果： x 1.0000 1.0000 fval 3.1936e-011 例 7：求解： 首先建立目標函數文件 ff7.m 文件： function fff7x f-x1x2x3 然后將約束條件改寫成如下不等式： -x1-2x2-2x3≤0 x12x22x3≤72 在工作空間鍵入程序： A-1 –2 –21 2 2 b072 x0101010 xfvalfminconff71x0Ab 結果： x 24.00.
【篇2】兩動一定最小值問題的方法
3.8函數的最大值和最小值（第1課時）
容縣高中 封云
文科選修數學第三冊（選修一）
【教材分析】
本節教材知識間的前后聯系，以及地位與作用
本節主要研究閉區間上的連續函數最大值和最小值的求法和實際應用，分兩課時，這里是第一課時，它是在學生已經會求某些函數的最值，并且已經掌握了性質：“如果f(x)是閉區間[a，b]上的連續函數，那么f(x)在閉區間[a，b]上有最大值和最小值” ，以及會求可導函數的極值之后進行學習的，學好這一節，學生將會求更多的函數的最值，運用本節知識可以解決科技、經濟、社會中的一些如何使成本最低、產量最高、效益最大等實際問題．這節課集中體現了數形結合、理論聯系實際等重要的數學思想方法，學好本節，對于進一步完善學生的知識結構，培養學生用數學的意識都具有重要的理論價值和現實價值．
高中階段對用導數求可導函數在閉區間上的最值的方法不要求作嚴密的理論推導，這一方法完全可以由學生通過對函數圖象的觀察、歸納得到，所以本節教材還有一個重要的教育功能，那就是培養學生的探索精神，體驗自主學習的成功愉悅.
【教學目標】
根據本節教材特點，結合學生已有的認知水平，制定本節如下的三維教學目標：
1．知識和技能目標
（1）進一步明確閉區間[a，b]上的連續函數f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值．
（2）理解上述函數的最值存在的可能位置．
（3）掌握用導數法求上述函數的最大值與最小值的方法和步驟．
2．過程和方法目標
（1）在學習過程中，觀察、歸納、表述、交流、合作，最終形成認識．
（2）培養學生的數學能力，能夠自己發現問題，分析問題并最終解決問題．
3．情感和價值目標
（1）認識事物之間的的區別和聯系，體會事物的變化是有規律的唯物主義思想．
（2）提高學生的數學能力，培養學生的創新精神、實踐能力和理性精神．
【教學重點、難點】
1．教學重點
基于以上對本節教材特點和教學目標的分析，將本節課的教學重點確定為：
（1）培養學生的探索精神,積累自主學習的經驗；
（2）會求閉區間上的連續函數的最大值和最小值．
2．教學難點
高二年級學生雖然已經具有一定的知識基礎，但由于對求函數極值還不熟練，特別是對優化解題過程依據的理解會有較大的困難，所以這節課的難點是
(1)發現閉區間上的連續函數f (x)的最值只可能存在于極值點處或區間端點處；
(2)理解方程f′(x)=0的解，包含有指定區間內全部可能的極值點．
3．教學關鍵
本節課突破難點的關鍵是：通過合作探究的方式，讓學生在運動變化的過程中通過觀察、比較，發現結論．
【教法選擇】
關于教法與學法：
（1）班杜拉的社會學習原理認為：觀察學習是重要的學習方法．這節課采用的第一個方法就是“觀察、比較法”；
（2）為了克服學生已有知識經驗和閱歷不足的弱點，采用多媒體輔助教學，設計了一個有圖案的課件，讓學生在函數圖象的變化中觀察、比較，發現數學本質；
（3）根據新課標的教學理念，教學中要培養學生合作共事的團隊精神，這節課還采用了“合作、討論法”，讓學生共同探討、合作學習、取長補短、形成共識．
【學法指導】
對于求函數的最值，已經和學生共同通過觀察圖像的情況，發現怎樣會有最大值的方法，剩下的問題就是沒有圖像，通過怎樣的計算方法來找最值？教學設計中注意激發起學生強烈的求知欲望，使得他們能積極主動地觀察、分析、歸納，以形成認識，參與到課堂活動中，充分發揮他們作為認知主體的作用．
【教學過程】
本節課的教學，大致按照“創設情境，鋪墊導入——合作學習，探索新知——指導應用，鼓勵創新——歸納小結，反饋建構”四個環節進行組織．
教學環節
教 學 內 容
設 計 意 圖
一、創 設 情 境，鋪 墊 導 入
1．問題情境：在日常生活、生產和科研中，常常會遇到求什么條件下可以使成本最低、產量最大、效益最高等問題，這往往可以歸結為求函數的最大值與最小值．
如圖,有一長80cm,寬60cm
的矩形不銹鋼薄板,用此薄板折
成一個長方體無蓋容器,要分別
過矩形四個頂點處各挖去一個
全等的小正方形，按加工要求,
長方體的高不小于10cm且不大于
20cm．設長方體的高為xcm,體積
為Vcm3．問x為多大時,V最大?
并求這個最大值．
解：由長方體的高為xcm，
可知其底面兩邊長分別是
（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).
所以體積V與高x有以下函數關系
V=（80－2x）（60－2x）x
=4（40－x）（30－x）x.
2．引出課題：分析函數關系可以看出，以前學過的方法在這個問題中較難湊效，這節課我們將學習一種很重要的方法，來求某些函數的最值．
以實例引入新課，有利于學生感受到數學來源于現實生活，培養學生用數學的意識，．
通過運用幾何畫板演示,增強直觀性,幫助學生迅速準確地發現相關的數量關系．
實際問題中，在設元、列式后將這個實際問題轉化為求函數在閉區間上的最值問題．這時學生經思考后會發現，以前學習過的知識不能解決這一問題，從而激發起學生的學習熱情．
教學環節
教 學 內 容
設 計 意 圖
二、合 作 學 習，探 索 新 知
1．我們知道，在閉區間[a，b]上連續的函數f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值．
2．如圖為連續函數f(x)的圖象：
在閉區間[a，b]上連續函數f(x)的最大值、最小值分別是什么？分別在何處取得？
3．以上分析，說明求函數f(x)在閉區間[a，b]上最值的關鍵是什么？
歸納：設函數f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，求f (x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟如下：
（1）求f (x)在(a,b)內的極值；
（2）將f (x)的各極值與f (a)、f (b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
通過對已有相關知識的回顧和深入分析，自然地提出問題：閉區間上的連續函數最大值和最小值在何處取得？如何能求得最大值和最小值？以問題制造懸念，引領著學生來到新知識的生成場景中．
為新知的發現奠定基礎后，提出教學目標，讓學生帶著問題走進課堂，既明確了學習目的，又激發起學生的求知熱情．
為讓學生更好地進行發現，教學中通過改變區間位置，引導學生觀察同一函數在不同區間內圖象上最大值最小值取得的位置，形成感性認識，進而上升到理性的高度．
學生在合作交流的探究氛圍中思考、質疑、傾聽、表述，體驗到成功的喜悅，學會學習、學會合作．
在整個新知形成過程中，教師的身份始終是啟發者、鼓勵者和指導者，以提高學生抽象概括、分析歸納及語言表述等基本的數學思維能力．
教學環節
教 學 內 容
設 計 意 圖
三、指 導 應 用，鼓 勵 創 新
例1 求函數y=x4－2 x2＋5在區間[－2，2]上的最大值與最小值．
解： y′=4 x3－4x，
令y′=0，有4 x3－4x=0，解得：
x=－1,0,1
當x變化時，y′，y的變化情況如下表：
x
－2
(-2,-1)
－1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
y′
—
0
＋
0
－
0
＋
↘
↗
↘
↗
y
13
4
5
4
13
從上表可知，最大值是13，最小值是4．
思考：求函數f(x)在[a,b]上最值過程中，判斷極值往往比較麻煩，我們有沒有辦法簡化解題步驟？
分析：在(a,b)內解方程f′(x)=0, 但不需要判斷是否是極值點,更不需要判斷是極大值還是極小值．
設函數f(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，求f(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟可以改為：
（1）求f(x)在(a,b)內導函數為零的點，并計算出其函數值；
（2）將f(x)的各導數值為零的點的函數值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
解法2：
y′=4 x3－4x
令y′=0，有4x3－4x=0，解得：
x=－1,0,1．
x=－1時，y=4,
x=0時，y=5,
x=1時，y=4．
又 x=－2時，y=13，
x=2時，y=13．
∴所求最大值是13，最小值是4．
課堂練習：
求下列函數在所給區間上的最大值與最小值：
（1）y=x－x3,x∈[0,2]；
（2）y=x3＋x2－x，x∈[－2,1]．
解決例1的方法并不唯一，還可以通過換元轉化為學生熟知的二次函數問題；而這里利用新學的導數法求解，這種方法更具一般性，是本節課學習的重點．
“問起于疑，疑源于思”，數學最積極的成分是問題，提出問題并解決問題是數學教學的靈魂．思考題的目的是優化導數法求最大、最小值的解題過程，培養學生的探究意識及創新精神，提高學生分析和解決問題的能力．
對例題1用簡化后的方法求解，便于學生將它與第一種解法形成對照，使得問題的解決更簡單明快，更易于操作，更容易被學生所接受．
課堂練習的目的在于及時鞏固重點內容，使學生在課堂上就能掌握．同時強調規范的書寫和準確的運算，培養學生嚴謹認真的數學學習習慣．對學生完成練習情況進行評價，使所有學生都體驗到成功或得到鼓勵，并據此調控教學．
教學環節
教 學 內 容
設 計 意 圖
三、指 導 應 用，鼓 勵 創 新
例2如圖,有一長80cm,寬60cm
的矩形不銹鋼薄板,用此薄板折
成一個長方體無蓋容器,要分別
過矩形四個頂點處各挖去一個
全等的小正方形，按加工要求,
長方體的高不小于10cm不大于
20cm,設長方體的高為xcm,體積
為Vcm3．問x為多大時,V最大?
并求這個最大值．
分析：建立V與x的函數的關系后，問題相當于求x為何值時，V最大，可用本節課學習的導數法加以解決．
例題2的解決與本課的引例前后呼應，繼續鞏固用導數法求閉區間上連續函數的最值，同時也讓學生體會到現實生活中蘊含著大量的數學信息，培養他們用數學的意識和能力．
四、歸納小結，反思建構
課堂小結：
1．在閉區間[a,b]上連續的函數f(x)在 [a,b]上必有最大值與最小值;
2．求閉區間上連續函數的最值的方法與步驟;
3．利用導數求函數最值的關鍵是對可導函數使導數為零的點的判定．.
作業布置：P134 1．
選做題：已知拋物線y =4 x2的頂點為O，點A（5，0），傾斜角為的直線與線段OA相交，且不過O、A兩點，l交拋物線于M、N兩點，求使△AMN面積最大時的直線l的方程．.
通過課堂小結，深化對知識理解，完善認識結構，領悟思想方法，強化情感體驗，提高認識能力．
課外作業分必做題與選做題，因材施教、及時反饋，讓不同的學生在數學上得到不同的發展．同時有利于教師發現教學中的不足，及時反饋調節．
【教學設計說明】
本節課旨在加強學生運用導數的基本思想去分析和解決問題的意識和能力，即利用導數知識求閉區間上可導的連續函數的最值，這是導數作為數學工具的一個具體體現，整堂課對閉區間上的連續函數的最大值和最小值以“是否存在？存在于哪里？怎么求？”為線索展開．
1．由于學生對極限和導數的知識學習還談不上深入熟練，因此教學中從直觀性和新舊知識的矛盾沖突中激發學生的探究熱情，充分利用學生已有的知識體驗和生活經驗，遵循學生認知的心理規律，努力實現課程改革中以“學生的發展為本”的基本理念．
2．關于教學過程，對于本節課的重點：求閉區間上連續，開區間上可導的函數的最值的方法和一般步驟，必須讓學生在課堂上就能掌握．對于難點：求最值問題的優化方法及相關問題，層層遞進逐步提出，讓學生帶著問題走進課堂，師生共同探究解決，知識的建構過程充分調動學生的主觀能動性．
3．為充分調動學生的學習積極性，讓學生能夠主動愉快地學習，本節課始終貫徹“教師為主導、學生為主體、探究為主線、思維為核心”的數學教學思想，引導學生主動參與到課堂教學全過程中．
4．在教學手段上，制作多媒體課件輔助教學，使得數學知識讓學生更易于理解和接受；課堂教學與現代教育技術的有機整合，大大提高了課堂教學效率．
【篇3】兩動一定最小值問題的方法
將軍飲馬—最短路徑最值問題教學設計一、教學內容解析
為了解決生產，經營中省時省力省錢而希望尋求最佳的解決方案而產生了最短路徑問題.
初中階段，主要以“兩點之間，線段最短”，“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”，為理論基礎，有時還要借助軸對稱、平移、旋轉等變換進行研究.
本節內容是在學生學**移、軸對稱等變換的基礎上對數學史中的一個經典問題——“將軍飲馬問題”為載體進行變式設計，開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學生經歷將實際問題抽象為數學的線段和最小問題，再利用軸對稱、平移將線段和最小問題轉化為“兩點之間，線段最短”的問題.從中，讓學生借助所學知識和生活經驗獨立思考或與他人合作，經歷發現問題和提出問題，分析問題和解決、驗證問題的全過程，感悟數學各部分內容之間，數學與實際生活之間及其他學科的聯系，激發學生學習數學的興趣，加深對所學數學內容的理解，它既是軸對稱、平移知識運用的延續，又能培養學生自行探究，學會思考，在知識與能力轉化上起到橋梁作用。
基于以上分析，本節課的教學重點確定為：
[教學重點]
利用軸對稱、平移等變換將最短路徑問題轉化為“兩點之間，線段最短”問題.
二、教學目標解析
新課程標準明確要求，數學學習不僅要讓學生獲得必要的數學知識、技能，還要包括在啟迪思維、解決問題、情感與態度等方面得到發展.因此，確定教學目標如下：
[教學目標]
能利用軸對稱、平移解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟領會轉化的數學思想，培養學生探究問題的興趣和合作交流的意識，感受數學的實用性，體驗自己探究出問題的成就感.
[目標解析]
達線目標的標志是：學生能將實際問題中的“地點”、“河”、“草地”抽象為數學中的“點”、“線”，把最短路徑問題抽象為數學中的線段和最小問題，能利用軸對稱將處在直線同側的兩點，變為兩點處在直線的異側，能利用平移將兩條線段拼接在一起，從而轉化為“兩點之間，線段最短”問題，能通過邏輯推理證明所求距離最短，在探索問題的過程中，體會軸對稱、平移的作用，體會感悟轉化的數學思想.
三、學生學情診斷
八年級的學生直接經驗少，理解能力差，抽象思維水平較低，處于直覺經驗型思維向邏輯思維的過渡階段，辯證思維還只是處在萌芽和初始的狀態上.
最短路徑問題從本質上說是最值問題，作為初中生，在此前很少涉及最值問題，解決這方面問題的數學經驗尚顯不足，特別是面對具有實際背景的最值問題，更會感到陌生，無從下手.
解答：“當點A、B在直線的同側時，如何在上找點C，使AC與CB的和最小”，需要將其轉化為“直線異側的兩點，與上的點的線段和最小”的問題，為什么需要這樣轉化，怎樣通過軸對稱實現轉化，一些學生會存在理解和操作方面的困難.
在證明“最短”時，需要在直線上任取一點，證明所連線段和大于或等于所求作的線段和.這種思路和方法，一些學生還想不到.
在解答“使處在直線兩側的兩線段和最小”的問題，需要把它們平移拼接在一起，一些學生想不到.
教學時，教師可以讓學生首先思考“直線的異側的兩點，與上的點的線段和最小”，給予學生啟發，在證明“最短”時，點撥學生要另選一個量，通過與求證的那個量進行比較來證明，同時讓學生體會“任意”的作用，因此確定本節課的教學難點為：
[教學難點]
如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題.
四、教學策略分析
建構主義理論的核心是“知識不是被動接受的而是認知主體積極建構的.”
根據本節課的教學目標、教材內容以及學生的認知特點和實際水平，教學上采用“引導——探究——發現——證明——歸納總結”的教學模式，鼓勵引導學生、開動腦筋、大膽嘗試，在探究活動中培養學生創新思維與想象能力.
教師的教法：突出解題方法的引導與啟發，注重思維習慣的培養，為學生搭建參與和交流的平臺.通過對“將軍飲馬問題”而改編與設計，增強數學課堂趣味性,相同背景，不同問題，由淺入深、層層遞進，有利于學生分析與解決問題，同時利用現代的信息技術，直觀地展示圖形的變化過程，提高學生學習興趣與激情.
學生的學法：突出探究與發現，思考與歸納提升，在動手探究、自主思考、互動交流中，獲取知識與能力.
五、教學基本流程
探索新知——運用新知——拓展新知——提煉新知——課外思考
六、教學過程設計
（一）探索新知
1、建立模型
問題1 唐朝詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數學問題．如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的指揮部A地出發，到一條筆直的河邊飲馬，然后到軍營B地，到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？
追問1，這是一個實際問題，你打算首先做什么呢？
師生活動：將A、B兩地抽象為兩個點，將河抽象為一條直線
追問2，你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學的問題嗎？
師生活動：學生交流討論，回答并相互補充，最后達成共識：
（1）行走的路線：從A地出發，到河邊飲馬，然后到B地；
（2）路線全程最短轉化為兩條線段和最短；
（3）現在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線上的點.設C為直線l上的一個動點，上面的問題轉化為：當點C在的什么位置時，AC與CB的和最小
［設計意圖］從數學史上久負盛名的“將軍飲馬問題”引入，增加學生們的數學底蘊，提高其人文思想.同時引導學生分析題意，畫出圖形.將實際問題轉化為數學問題更有利于分析問題、解決問題.
2、解決問題
問題2如圖點A、B在直線的同側，點C位直線上的一個動點，當點C在的什么位置時，AC與CB的和最小？
師生活動：讓學生獨立思考、畫圖分析，并展示
如果學生有困難，教師作如下提示：
（1）如圖，如果軍營B地在河對岸，點C在的什么位置時，AC與CB的和最小？由此受到什么啟發呢？
（2）如圖，如何將點B“移”到的另一側B′處，且滿足直線上的任意一點C，都保持CB與CB′的長度相等？
學生在老師的啟發引導下，完成作圖.
［設計意圖］先通過學生對本題的思考嘗試，并展示，師生共同糾錯，提高認識與辯證思想，再通過老師的引導啟發明白解決這個問題應該運用軸對稱的性質，將兩點在直線同側的問題，轉化為兩點在直線異測的問題，提高學生的空間想象能力與邏輯思維能力，讓學生在思考和解決問題的過程中，提高甄別是非的能力，感悟轉化的數學思想.
3、證明“最短”
問題3，為什么這種作法是正確的呢？你能用所學的知識證明AC+CB最短嗎？
師生活動：分組討論，教師引導點撥，結合多媒體的演示，師生共同完成證明過程.
證明：如圖，在直線上任取一點Cˊ.連接AC′、BC′、B′C′.
由軸對稱的性質可知：
BC=B′C BC′.=B′C′
∴AC+BC=AC+B′C=AB′
AC′+BC′=AC′+B′C′
當C′與C不重合時
AB′＜AC′+C′B′
∴AC+BC＜AC′+C′B
當C′與C重合時
AC+BC=AC′+C′B
總之，AC+BC≤AC′+C′B
即AC+BC最短
［設計意圖］利用現代信息技術，通過移動點C′的位置，可發現：當C′與C不重合時，AC+BC＜AC′+C′B，當C′與C重合時，AC+BC=AC′+C′B.讓學生很容易知道AC+BC最短，消除了學生的疑慮，發揮了多媒體的作用，讓學生進一步體會作法的正確性，提高了邏輯思維能力.
4、小結新知
回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程，借助什么解決問題的？體現了什么數學思想？
師生活動：學生回答，并相互補充.
［設計意圖］讓學生在反思的過程中，體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想，明確解題的方法與策略，為后面進一步的學習探究做準備.
（二）運用新知
如圖，如果將軍從指揮部A地出發，先到河邊a某一處飲馬，再到草地邊b某一處牧馬，然后來到軍營B地，請畫出最短路徑.
師生活動：分組討論，教師點撥，點學生上臺操作演示，畫出最短路徑.
［設計意圖］對前面所學的解題方法與思路得以鞏固，讓學生形成技能，進一步體會感悟數學中的轉化思想，點學生上臺操作演示，提高他們的學生興趣與實踐能力，體會成功的喜悅，激發他們進一步探究問題的欲望.
（三）拓展新知
有一天，將軍突發奇想：如果從指揮部A地出發，到一條筆直的河邊a某處飲馬，然后沿著河邊行走一定的路程，再來到軍營B地，到河邊什么地方飲馬可使所走的路線全程最短？
師生活動：
1、老師首先解釋行走一定的路程的含義，引導學生將實際問題抽象為數學問題，再提出如下問題：
（1）要使所走的路線全程最短，實際上是使幾條線段之和最短？
（2）怎樣將問題轉化為“兩點之間，線段最短”的問題.
2、分組討論，師生共同分析.
3、完成作圖，體會作圖的步驟與分析問題的思路的聯系與區別.
［設計意圖］本題在“將軍飲馬問題”的背景下進行改編，有造橋選址問題的影子，既增強了課堂教學的趣味性，又完成了教學任務，可謂一舉兩得..教學由問題引領，老師引導，學生小組合作討論交流的方式，充分發揮現代信息技術的作用完成分析與解答的過程，讓學生學得輕松與愉悅，培養了學生的應用意識、創新意識、綜合與分析能力，在解決問題的過程中，體會作圖題的解題方法與策略.讓學生的能力得到進一步鍛煉與提高.
（四）提煉新知
師生一起回顧本節課所學的主要內容，并請學生回答以下問題：
1、本節課研究問題的過程是什么？
2、解決上述問題運用了什么知識？
3、在解決問題的過程運用了什么方法？
4、運用上述方法的目的是什么？體現了什么樣的數學思想？
［設計意圖］引導學生把握研究問題的策略、思路、方法的同時，并從運用的知識、方法、思想方面進行歸納總結，讓學生對本節課有一個更清晰、更系統的認識，體會軸對稱、平移在解決最短路徑問題中的作用，感悟轉化思想的重要價值.
（五）課外思考
將軍又提出一個問題：
如圖，如果將軍從指揮部A地出發，到一條筆直的河邊a某處飲馬，然后沿著河邊行走一定的路程，再來到草地邊b某一處牧馬，最后來到軍營B地，到河邊什么地方飲馬、草地邊何處牧馬可使所走的路線全程最短呢？
［設計意圖］通過一系列的“將軍飲馬問題”的變式設計，由淺入深，環環相扣，不但學習將軍這種喜歡動腦，敢于提問，勇于探索的求學精神，同時培養學生的問題意識，通過最后這一問題的設計，讓學有余力的學生解答，它不僅能鞏固知識，形成技能，同時激發了學生的求知欲望與勇于探究的精神.同時，也是由課內向課外的一種延伸，預示著問題并沒有終結，培養學生具有終身學習的意識與創新精神！